Wenn P1,P2,P3P1,P2,P3P_1,P_2,P_3 auf dem Kreis x2+y2=1x2+y2=1x^2+y^2=1 liegen, dann beweise, dass P4P4P_4 auf dem Kreis liegt.

Lassen$P_2'$Endpunkt sein von$\frac{3}{2} \overrightarrow{OP_2}$Und$P_3'$Endpunkt sein von$\frac{3}{2} \overrightarrow{OP_3}$. Die gleichung$\overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_3} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_2}$impliziert das Dreieck$\Delta OP_3P_2'$Seitenlänge hat$1$,$1$, Und$3/2$, seit$OP_i$sind Einheitsvektoren für$i = 1,2,3$. Dieses Dreieck hat einen Winkel$\angle P_3OP_2'$zwischen den Seiten der Länge$1$Und$3/2$.

Die zweite Gleichung$\overrightarrow{OP_2} + \overrightarrow{OP_4} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OP_3}$impliziert das Dreieck$\Delta OP_2P_3'$hat Seitenlängen von$1$,$||\overrightarrow{OP_4}||$Und$3/2$. Dieses Dreieck hat einen Winkel von$\angle P_3'OP_2$zwischen den Seiten der Länge$1$Und$3/2$.

Allerdings seit$P_3$Und$P_3'$liegen auf demselben Strahl wie der Ursprung, und tun dies auch$P_2$Und$P_2'$, wir wissen$\angle P_3'OP_2 \cong \angle P_3OP_2'$. Also die Dreiecke$\Delta OP_2P_3'$Und$\Delta OP_3P_2'$sind kongruent, da sie zwei gleich lange Seiten mit gleichem Winkel dazwischen haben. Daher,$||\overrightarrow{OP_4}||$muss die Länge der verbleibenden Seite sein$\Delta OP_2P_3'$, somit$||\overrightarrow{OP_4}|| = 1$, was impliziert$P_4$liegt auf dem Einheitskreis.