Das Volumen eines Parallelepipeds p2p2p_2, das von den Flächendiagonalen eines anderen Parallelepipeds p1p1p_1 aufgespannt wird, ist doppelt so groß wie das Volumen von p1p1p_1.

Question

Das Volumen eines Parallelepipeds p2p2p_2, das von den Flächendiagonalen eines anderen Parallelepipeds p1p1p_1 aufgespannt wird, ist doppelt so groß wie das Volumen von p1p1p_1.

Volumen
Vektoren
Geometrie
Mathematik
Euklidische Geometrie

Unsichtbar

Ich möchte rein geometrisch (ohne Bezugnahme auf das Skalar- und Kreuzvektorprodukt) folgendes beweisen:

Das Volumen eines Parallelepipeds $p_2$ von den Flächendiagonalen eines anderen Parallelepipeds überspannt $p_1$ ist doppelt so groß wie die $p_1$ , dh $V_{p_2}=2V_{p_1}$ .

Die Aussage folgt leicht aus der Definition:

Lassen $\vec a,\vec b,\vec c$ Seien Vektoren der Seiten mit gleichem Ursprung in einer Ecke des Parallelepipeds $p_1$

\begin{aligned} v_{P_{2}} & = (\vec{B} + \vec{C}) \cdot ((\vec{A} + \vec{C}) \times (\vec{A} + \vec{B})) \\ = (\vec{B} + \vec{C}) \cdot (\underset{= 0}{\underset{⏟}{\vec{A} \times \vec{A}}} + \vec{A} \times \vec{B} + \vec{C} \times \vec{A} + \vec{C} \times \vec{B}) \\ = \underset{= 0}{\underset{⏟}{\vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})}} + \vec{B} (\vec{C} \times \vec{A}) + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{B})}} + \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\vec{C} \cdot (\vec{C} \times \vec{A})}} + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\vec{C} \cdot (\vec{C} \times \vec{B})}} \end{aligned}

$\begin{aligned}V_{p_2}&=\left(\vec b+\vec c\right)\cdot\left(\left(\vec a+\vec c\right)\times\left(\vec a+\vec b\right)\right)\\&=\left(\vec b+\vec c\right)\cdot\left(\underbrace{\vec a\times\vec a}_{=0}+\vec a\times\vec b+\vec c\times\vec a+\vec c\times\vec b\right)\\&=\underbrace{\vec b\cdot\left(\vec a\times\vec b\right)}_{=0}+\vec b\left(\vec c\times\vec a\right)+\underbrace{\vec b\cdot\left(\vec c\times\vec b\right)}_{=0}+\vec c\cdot\left(\vec a\times\vec b\right)+\underbrace{\vec c\cdot\left(\vec c\times\vec a\right)}_{=0}+\underbrace{\vec c\cdot\left(\vec c\times\vec b\right)}_{=0} \end{aligned}$

Offensichtlich $\vec c\cdot\left(\vec a\times\vec b\right)=\vec c\cdot\left(\left(\vec a+\vec c\right)\times\left(\vec a+\vec b\right)\right)$ , also wird die Determinante nicht durch Hinzufügen dieser Zeilen geändert, d. h.

| \begin{matrix} C_{1} & C_{2} & C_{3} \\ A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ B_{1} & B_{2} & B_{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} C_{1} & C_{2} & C_{3} \\ A_{1} + C_{1} & A_{2} + C_{2} & A_{3} + C_{3} \\ A_{1} + B_{1} & A_{2} + B_{2} & A_{3} + B_{3} \end{matrix} | .

$\begin{vmatrix}c_1&c_2&c_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1&c_2&c_3\\a_1+c_1&a_2+c_2&a_3+c_3\\a_1+b_1&a_2+b_2&a_3+b_3\end{vmatrix}.$ Das Volumen bleibt also gleich, solange der neue Parallelepiped von mindestens einer ehemaligen Vektorseite aufgespannt wird.

Wir können es so interpretieren: Let $ABCDEFGH$ ein beliebiger Parallelepiped sein und lassen

$\begin{aligned}\vec a&=\overrightarrow{AB}\\\vec b&=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\\\vec c&=\overrightarrow{AE}\\\vec a+\vec b&=\overrightarrow{AC}\\\vec b+\vec c&=\overrightarrow{ AH}\end{aligned}$ .

Lassen $I\in CD$ st $\overrightarrow{CI}=\vec a$ dann die Fläche des Parallelogramms $ABIC$ von den Vektoren aufgespannt $\vec a$ Und $\vec a+\vec b$ gleich der Fläche des Parallelogramms $ABCD$ von den Vektoren aufgespannt $\vec a,\vec b$ .

Als nächstes lassen $J, K$ Punkte sein s .t. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{CK}$ .

Dann die Parallelepipeds $ABCDEFGH$ Und $ABICHGJK$ haben gleiche Höhen und Basen und daher gleiche Volumina.

Punkte lassen $L,M,N$ am besten $\overrightarrow{NL}=\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BG}$ .

Dann $ACKH\cong BIJG\cong FNLM$ .

Bild:

Ich weiß jedoch nicht, wie ich die Lautstärke weiter beweisen soll $AFMHCNLK$ ist das doppelte Volumen $ABICHGJK$ .

Darf ich Sie um Rat fragen, um diese Aufgabe zu lösen?

Vielen Dank im Voraus!

Antworten (2)

Das Volumen eines Parallelepipeds p2p2p_2, das von den Flächendiagonalen eines anderen Parallelepipeds p1p1p_1 aufgespannt wird, ist doppelt so groß wie das Volumen von p1p1p_1.

Ethan Bölker · Answer 1

Hier ist ein Anfang für einen rein geometrischen Beweis:

Setzen Sie den Ursprung auf einen Scheitelpunkt und ändern Sie die Koordinaten so, dass das Parallelepiped zum Einheitswürfel wird. Sie können dies tun, indem Sie die drei Kanten am Ursprung als Basisvektoren wählen.

Durch diese Änderung der Koordinaten werden alle Volumen auf die gleiche Weise skaliert, sodass die Proportionen, an denen Sie interessiert sind, erhalten bleiben.

Für den Einheitswürfel sind die Flächendiagonalen $(0,1,1)$ , $(1,0,1)$ Und $(1,1,0)$ . Der Quader, den sie bestimmen, hat Volumen $2$ weil der Jacobi der Wechsel der Koordinatentransformation zu diesem Koordinatensystem die Determinante ist

\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} = 2.

$\begin{array}{|ccc|} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} = 2.$

Elliot Yu · Answer 2

Sie haben die Formel verwendet $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})$ für das Volumen des aufgespannten Parallelepipeds $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , Und $\vec{w}$ . In der Tat haben Sie so das Volumen von berechnet $p_2$ . Also im letzten Ausdruck für $V_{p_2}$ Sie können die Begriffe erkennen $\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})$ Und $\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})$ sowohl als das Volumen von $V_{p_1}$ , was den Beweis abschließen sollte.

Beachten Sie, dass das Tripelprodukt unter zyklischer Permutation unveränderlich ist, sodass diese beiden Ausdrücke beide gleich sind $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ . Dies sollte sinnvoll sein, da die Reihenfolge, in der wir die drei Kanten eines Parallelepipeds benennen, die sich an einem Scheitelpunkt schneiden, keine Rolle spielen sollte, solange die Ausrichtung dieselbe ist. Alternativ können Sie dies auch aus der Tatsache ableiten, dass Determinanten unter zyklischer Permutation von Zeilen unveränderlich sind.

Vielen Dank für deine Antwort, ich habe diesen Schritt einfach übersprungen, um mit meinem Gedanken fortzufahren ... 😅 Ich weiß deine Antwort zu schätzen!
@Invisible Ooh, ich verstehe. Entschuldigung, ich habe möglicherweise versehentlich den "rein geometrischen" Teil Ihrer Frage übersprungen: P

Das Volumen eines Parallelepipeds p2p2p_2, das von den Flächendiagonalen eines anderen Parallelepipeds p1p1p_1 aufgespannt wird, ist doppelt so groß wie das Volumen von p1p1p_1.

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