Gleichmäßige Konvergenz einer als Produkt und Faltung gegebenen Folge von Funktionen.

Angenommen, wir haben für eine offene beschränkte Menge$\Omega \subset \mathbb{R}^n$:

1. Eine Funktion$u \in L^p(\mathbb{R}^n) \cap C(\mathbb{R}^n)$.
2. Eine Folge von Weichmachern$(\rho_n) \subset C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$.
3. Eine Folge von Funktionen$(\xi_n) \subset C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$mit$0 \leq \xi_n(x) \leq 1$definiert als: $$\xi_n=\xi(\frac{x}{n})= \left\{\begin{matrix} 1 & if \ |\frac{x}{n}| \leq 1\\ 0 & if \ |\frac{x}{n}| \geq 2 \end{matrix}\right.$$

Für$\xi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$Und$0 \leq \xi(x) \leq 1$.

Ich möchte zeigen, dass die Sequenz$(\rho_n * u)(\xi_n)_{|_\overline{\Omega}}$konvergiert gleichmäßig zu$u_{|_{\overline{\Omega}}}$.

Diese Tatsachen konnte ich nachweisen:

• Unter Verwendung des Satzes der dominierten Konvergenz sehen wir das klar für alle$g \in L^p(\Omega)$wir haben$\xi_n g_{|_{\overline{\Omega}}}\to g_{|_{\overline{\Omega}}}$In$L^p(\Omega)$.

  • Unter Verwendung grundlegender Ergebnisse der Faltung und Regularisierung haben wir das als$\overline{\Omega}$ist kompakt u$u \in L^p(\mathbb{R}^n) \cap C(\mathbb{R}^n)$ $\rho_n * u_{|_{\overline{\Omega}}} \to u_{|_{\overline{\Omega}}}$gleichmäßig.

  • Als$\overline{\Omega}$ist begrenzt, angenommen durch eine Kugel mit Radius$M$, das haben wir auch$\xi_n g_{|_{\Omega}} \to g_{|_\Omega}$gleichmäßig an$\overline{\Omega}$, wie für$n \geq M$ $\xi_n \equiv 1$An$\overline{\Omega}$.