Warum wollen wir komplette Räume? Nutzen wir nicht einfach geschlossene Räume?

Zunächst ein peripheres technisches Problem: Anders als Vollständigkeit ist Geschlossenheit keine absolute Eigenschaft; es ist eine relative Eigenschaft. Ein Leerzeichen$S$vollständig oder nicht vollständig ist. Aber es macht keinen Sinn, das zu sagen$S$geschlossen oder nicht geschlossen ist. Alles, was Sie sagen können, ist, dass es relativ zu einem größeren Raum geschlossen ist$T$. Betrachten Sie zum Beispiel die Menge$(0, \infty)$von positiven reellen Zahlen. Dies ist nicht relativ zu geschlossen$\Bbb R$, weil es seinen Grenzpunkt nicht enthält$0$. Aber es ist relativ zu geschlossen$\Bbb R\setminus\{0\}$weil es jetzt alle seine Grenzpunkte enthält – Null ist kein Grenzpunkt mehr, weil wir es aus dem Raum entfernt haben. Und natürlich ist es relativ zu geschlossen$(0,\infty)$weil jeder topologische Raum eine abgeschlossene Teilmenge seiner selbst ist. Ihr Vorschlag ist also nicht einmal sinnvoll, da es keinen "geschlossenen Raum" gibt.

(Das Problem kann allgemeiner gesehen werden, wenn Sie die Definition einer geschlossenen Menge betrachten:$C$ist geschlossen, wenn$X\setminus C$ist offen. Aber das hängt davon ab, was$X$Ist.)

Aber es gibt ein größeres Problem. Die Griechen bemerkten schon vor 2300 Jahren, dass die rationalen Zahlen unvollständig sind. Anachronistisch ausgedrückt, stellten sie fest, dass es Cauchy-Folgen gibt, die nicht konvergieren. Es bedarf einer Theorie über solche Räume. Du hast gefragt

Was ist der Vorteil bei der Einführung dieses schwächeren Begriffs vollständiger Räume und der Behandlung dieser schwächeren Arten von Folgen, die als Cauchy-Folgen bezeichnet werden?

Das ist, als würde man fragen, warum Physiker so viel Zeit damit verbringen, Reibungskräfte zu verstehen, wenn doch jeder weiß, dass die Probleme viel einfacher zu lösen sind, wenn man einfach davon ausgeht, dass es keine Reibung gibt. Warum machen es sich Physiker nicht leicht? Weil es Reibung gibt und der ganze Sinn der Physik darin besteht, Probleme darüber zu lösen, wie die Welt wirklich ist, Reibung und alles.

Wie die Physik besteht auch die Mathematik nicht aus dem Nichts. Wir wollen bestimmte Arten von Problemen lösen und verstehen, wie Zahlen und Formen funktionieren. Die rationalen Zahlen scheinen eine grundlegende Art von Objekt zu sein, eines der Dinge, die in der Struktur des Universums wichtig sind. Der ganze Sinn der Mathematik besteht darin, zu verstehen, wie Dinge wie die rationalen Zahlen funktionieren und wie sie mit anderen Dingen wie den reellen Zahlen zusammenhängen.

Und der wichtigste Teil der Antwort auf diese Frage lautet: Die rationalen Zahlen enthalten Sequenzen, in denen die Elemente immer näher zusammenrücken (Cauchy-Sequenzen) und gewissermaßen konvergieren, obwohl es keine rationale Zahl gibt, zu der sie konvergieren. (Ein gängiges Beispiel ist$1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}\ldots$, mit$\frac ab$gefolgt jeweils von$\frac{a+2b}{a+b}$. Wir können das zeigen, wenn diese Folge gegen einen Grenzwert konvergieren würde$L$, Wir würden haben$L^2 = 2$. Aber wir wissen schon lange, dass es so etwas nicht gibt$L$.)

Aber die reellen Zahlen verhalten sich anders: Wenn sich Elemente einer Folge immer näher kommen, muss es einen einzigen Punkt geben$L$denen sie nahe kommen. Die beiden Arten von Zahlen sind auf diese Weise grundlegend verschieden, und wir stecken darin fest, genauso wie wir bei der Reibung stecken bleiben. Wir müssen diesem Unterschied einen Namen geben. Der Name ist „Vollständigkeit“.

Beachten Sie, dass Vollständigkeit eine metrische Eigenschaft ist, während Geschlossenheit eine topologische Eigenschaft ist und daher von dem topologischen Raum abhängt, mit dem sie bezeichnet wird. So kann jede Menge geschlossen werden, indem die entsprechende Topologie gewählt wird, und wie in den Kommentaren erwähnt, ist jede Menge in sich geschlossen. Aber nicht alle Sätze können vollständig gemacht werden, indem die Metrik geändert wird, die die Topologie beibehält , ein Beispiel dafür ist$\mathbb{Q}$, die Menge der rationalen Zahlen. Daher ist Vollständigkeit in Diskussionen über Konvergenz, mit der mathematische Analyse am meisten in Verbindung gebracht wird, von entscheidender Bedeutung. Wie in den Kommentaren erwähnt, ist Vollständigkeit eine intrinsische Eigenschaft, und es müssen Punkte hinzugefügt werden, um einen nicht topologisch vollständigen/nicht vollständig metrisierbaren Raum vollständig zu machen. Die historische Bedeutung der Vollständigkeit ergibt sich aus der Erkenntnis, dass sich alle großen Zweige der Analysis – reell, Fourier, funktional usw. – durch die Vervollständigung von Räumen entwickelt haben, die bis dahin nicht vollständig waren: Das Konzept der irrationalen Zahlen war der erste Begriff der Vollständigkeit, wenn auch ohne das exakte Vorstellung von Vollständigkeit, aber dennoch war die Idee Vollendung. Die Theorie des Lebesgue-Integrals ist nichts anderes als die Vervollständigung des Raums der Riemann-integrierbaren Funktionen,$L^2(\mu)$für seinen Beweis und die Liste geht weiter.

Wenn der Raum geschlossen ist, wissen wir, dass die Grenzen einer Folge existieren

Das ist... falsch. Versuchen$0,1,0,1,\ldots$.

Meinten Sie, dass jede Folge eine konvergente Teilfolge hat? Ich sage Ihnen das nur ungern, aber das gilt nur, wenn die abgeschlossene Menge eine Teilmenge eines vollständigen Raums ist.

Oder meinten Sie, dass jede Cauchy-Folge einen Grenzwert hat? Nochmals ... das gilt nur in einem vollständigen Raum.

Vollständigkeit ist wichtig, Sie haben nur Beispiele für geschlossene Mengen verwendet, die sich in vollständigen Räumen befinden. Und es hört sich so an, als wären die Eigenschaften, die Sie "mögen", tatsächlich Eigenschaften ganzer Räume. Offensichtlich verwechseln Sie viele verwandte Konzepte.

• "Geschlossen" ist eine topologische Eigenschaft. "Vollständig" ist nur eine Eigenschaft von metrischen Räumen.$[0,1]$ist eingesperrt$\mathbb R$Und$[0,1] \cap \mathbb Q$ist eingesperrt$[0,1] \cap \mathbb Q$.
• "Geschlossen" macht nur relativ zu einem enthaltenden topologischen Raum Sinn. "Complete" ist eine intrinsische Eigenschaft.
• "Grenzpunkte" können nur in Bezug auf offene Mengen und Topologie definiert werden. Geschlossene Mengen enthalten alle ihre Grenzpunkte in jeder topologischen Menge.
• "Vollständigkeit" bedeutet, wenn eine Folge versucht zu konvergieren, dann ist es etwas, zu dem sie tatsächlich konvergieren kann. "Konvergenz" macht nur in metrischen Räumen Sinn. Dies gilt nicht für$\mathbb Q$wo Sequenzen versuchen könnten zu konvergieren$\sqrt 2$zum Beispiel. (1, 1.4, 1.41, 1.414 ... ist eine solche Folge).