Unendlich viele Terme einer Cauchy-Folge in einer Vereinigung disjunkter abgeschlossener Mengen

Lassen$(M,d)$ein metrischer Raum sein und$F_1,F_2$zwei disjunkte abgeschlossene Unterräume von sein$M$. Wenn$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ist eine Cauchy-Folge so dass$a_n \in F_1 \cup F_2$für jeden$n$, und es gibt unendlich viele Glieder der Folge in$F_1$, folgt daraus, dass es nur endlich viele Glieder der Folge in gibt$F_2$?

Ich habe über diese Frage nachgedacht, als ich einige Übungen zu metrischen Räumen gemacht habe. Hier ist, was ich bisher habe. Wenn$F_1$Und$F_2$vollständige metrische Räume sind (bezüglich der induzierten Metrik), dann scheint die Behauptung wahr zu sein, denn die Existenz unendlicher Terme der Folge in$F_1$impliziert die Existenz einer Teilfolge$(a_{n_i})_{n_i \in \mathbb{N}}$der ursprünglichen Sequenz, die in enthalten ist$F_1$, und da diese Teilfolge auch Cauchy und ist$F_1$vollständig ist, konvergiert es irgendwann in$F_1$, aber aus der Tatsache, dass die ursprüngliche Folge Cauchy war, schließen wir, dass die ganze Folge zu einem Punkt in konvergiert$F_1$. Wenn nun unendlich viele Terme drin wären$F_2$, würden wir mit der gleichen Argumentation schließen$(a_n)$würde irgendwann zusammenlaufen$F_2$, aber die Eindeutigkeit der Grenze würde implizieren, dass eine solche Grenze in wäre$F_1 \cap F_2$, ein Widerspruch.

Wenn die obige Schlussfolgerung richtig ist, wissen wir, dass die Behauptung auch wahr ist, wenn$M$vollständig ist, denn dies impliziert, dass beides$F_1$Und$F_2$sind auch komplett.

Wenn es also ein Gegenbeispiel gibt, muss es sich in einem nicht vollständigen metrischen Raum befinden, aber ich konnte bisher keins finden. Es scheint, dass ein solches Gegenbeispiel zwei abgeschlossene Mengen mit willkürlich nahen Elementen erfordern würde, die jedoch keine gemeinsamen Elemente haben. Vielleicht ist die Behauptung trivialerweise falsch, aber ich konnte sie nicht beweisen oder im Allgemeinen widerlegen.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe und Aufmerksamkeit.