Stellen Sie sicher, dass jeder Zylindersatz geschlossen ist

Lassen X := Σ N sei die Menge aller Konfigurationen über einem Alphabet Σ . Jedes Wort w = w 1 w 2 · · · w N ∈ Σ ∗ definiert eine Teilmenge von X von C ( w ) := { X ∈ X : X 1 X 2 · · · X N = w 1 w 2 · · · w N } . Dies wird als Zylindersatz mit Sockel bezeichnet w In X . Beachten Sie das C ( λ ) = X .

(a) Stellen Sie sicher, dass der Zylinder einsetzt X bilden eine Basis für eine Topologie auf X .

(b) Lasst uns ausrüsten X mit der von den Zylindersätzen erzeugten Topologie. Stellen Sie sicher, dass jeder Zylindersatz geschlossen (d. h. sowohl offen als auch geschlossen) ist X .

Meine Versuche:

(a) Ich muss die 2 Eigenschaften einer Basis für eine Topologie beweisen.

  1. Jeden λ In X ist ein Grundelement, weil X = C ( λ ) , also genügt ein Basiselement.
  2. Für zwei beliebige Elemente B 1 = C ( w 1 ) Und B 2 = C ( w 2 ) und alle X ∈ B 1 ∩ B 2 , wir müssen welche finden B 3 enthält X sitzen in dieser Kreuzung. Wir wissen das X = X 1 = w 1 = X 2 = w 2 . Und ich weiß nicht, wie ich von dort aus weitermachen soll, um so einen zu finden B 3 .

(b) Ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll. Irgendwelche Hilfe bitte? Danke

Antworten (2)

Im zweiten Teil von (a) müssen Sie beweisen:

Wenn v , w ∈ Σ ∗ , Und X ∈ B ( v ) ∩ B ( w ) , dann gibt es eine u ∈ Σ ∗ so dass X ∈ B ( u ) ⊆ B ( v ) ∩ B ( w ) .

Lassen v = v 1 v 2 … v M Und w = w 1 w 2 … w N . Dann X k = v k für k = 1 , … , M , Und X k = w k für k = 1 … N . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen M ≤ N , so dass v k = X k = w k für k = 1 , … , M . Das behaupte ich B ( w ) ⊆ B ( v ) .

Nehme an, dass j ∈ B ( w ) ; Dann j k = w k für k = 1 , … , N , also insbesondere j k = w k = v k für k = 1 , … , M , und deshalb j ∈ B ( v ) . Daher, B ( w ) ⊆ B ( v ) , und deshalb X ∈ B ( w ) ⊆ B ( v ) ∩ B ( w ) . Das heißt, Sie können nehmen u = w .

Für (b) wissen Sie, dass die Zylindersätze per Definition offen sind, also müssen Sie nur beweisen, dass sie auch geschlossen sind. Lassen w = w 1 … w N ∈ Σ ∗ . Der einfachste Weg, das zu zeigen B ( w ) geschlossen ist, soll das zeigen X ∖ B ( w ) offen ist, was Sie tun können, indem Sie zeigen, dass es sich um eine Vereinigung von Zylindersätzen handelt.

  • Zeige, dass X ∈ X ∖ B ( w ) wenn und nur wenn es eine gibt k ∈ { 1 , … , N } so dass X k ≠ w k .
  • Zeigen Sie, dass es ein gibt k ∈ { 1 , … , N } so dass X k ≠ w k dann und nur dann, wenn
    X ∈ ⋃ σ ∈ Σ ∖ { w k } B ( σ ) .
  • Schluß damit
    X ∖ B ( w ) = ⋃ k = 1 N ⋃ σ ∈ Σ ∖ { w k } B ( σ ) ,
    das ist eine Vereinigung von Zylindersätzen.
Vielen Dank. Ich habe verstanden. Aber was ist X ∖ B ( w ) ausdrücklich?
@JOJO: Es ist die Ergänzung von B ( w ) In X , und es ist ausdrücklich das, was ich in der zuletzt angezeigten Formel geschrieben habe.

Geben Σ die diskrete Topologie, die eine Basis hat B = { { σ } ∣ σ ∈ Σ } .

Dann sind die Zylindersätze die Grundsätze in der Produkttopologie Σ N von dieser Komponentenbasis abgeleitet B , nämlich der Form ∏ N U N wo wir welche haben N ∈ N so dass U N ∈ B für N ≥ N Und U N = Σ für N > N . Wir haben also eine Basis, weil wir sie als Standardtopologie anerkennen Σ N , topologisch.

Wie alles einsetzt B sind geschlossen (wie Σ hat die diskrete Topologie) gleiches gilt für die daraus abgeleitete Produktbasis. Dies ist ziemlich klar, wenn Sie sich mit Produkttopologien auskennen; z.B ∏ N U N ¯ = ∏ N U N ¯ ist klassisch.

Stellen Sie sicher, dass jeder Zylindersatz geschlossen ist
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