Grenzwertvergleichstest zur Überprüfung der Konvergenz einer unendlichen Reihe

Die Essenz meiner Antwort ist das folgende Beispiel (bitte lesen Sie unten für eine korrekte Zuordnung und eine Überprüfung).

Beispiel. Lassen$a_n=\frac{(−1)^{n-1}}n$Und$b^n=\frac{(−1)^n}n+\frac1{n\ln n}$.
In diesem Fall$\sum a_n$konvergiert und$\sum b_n$weicht dabei ab$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-1$.

Intuitiv, zulassen$c<0$würde nur Sinn machen wenn man das zulässt$a_n$(Und$b_n$) sowohl negative als auch positive Werte annehmen. Dann müssen wir uns mit bedingt konvergenten Reihen befassen. Diese sind „weniger stabil unter Tweaks“ (als Reihen mit allen positiven Termen), und es stellt sich heraus, dass wir die alternierende harmonische Reihe (die bekanntlich konvergent ist) in eine alternierende Reihe optimieren könnten, die divergiert, aber das Verhältnis der Der gemeinsame Begriff der beiden Reihen ist eine endliche Zahl ungleich Null (ob negativ oder positiv ist nicht so wichtig). Hier sind weitere Einzelheiten.

Die Art und Weise, wie ich die Frage verstehe oder interpretiere, ist die folgende.

Das verlangen wir nicht$a_n$Und$b_n$sind nur nicht negative Terme. Wir nehmen an, dass$\lim_\limits{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=c<0$, das ist$-\infty<c<0$.
Können wir daraus schließen, dass entweder:
(i)$\sum a_n$Und$\sum b_n$beide konvergent sind,
oder
(ii)$\sum a_n$Und$\sum b_n$sind beide unterschiedlich?

Die Antwort ist NEIN , wie unten erklärt.

Erstens besteht die wesentliche Modifikation des üblichen Grenzwertvergleichstests darin, dass wir das zulassen$a_n$Und$b_n$sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Es ist nicht wirklich wichtig, dass wir es zulassen$c<0$. In der Tat, wenn$c<0$wir können ersetzen$a_n$mit$-a_n$und benutze das (offensichtlich) die Serie$\sum a_n$und die Serie$\sum-a_n=-\sum a_n$sind entweder beide konvergent oder beide divergent. (Dieses Verfahren würde natürlich ersetzen$c$mit$-c$.)

In einem der Kommentare zu ihrer/seiner Antwort stellte @user einen
Link zu dem folgenden Artikel (Preprint?) bereit
: Der Vergleichstest – nicht nur für nichtnegative Serien
Michele Longo, Vincenzo Valori, Oktober 2003.

Es scheint mir, dass @users Interpretation der OP-Frage anders war als meine, und sie / er scheint die Relevanz (zumindest für meine Interpretation) von Beispiel 7 in dem oben genannten Papier nicht angegeben zu haben.

Beispiel 7 . Lassen$a_n=\frac{(−1)^n}n$Und$b^n=\frac{(−1)^n}n+\frac1{n\ln n}$.
In diesem Fall$\sum a_n$konvergiert und$\sum b_n$weicht dabei ab$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$.

Die Autoren haben keinen Beweis geliefert, aber ich vermute nur, weil die Überprüfung einfach ist.
(Z.B$\sum\frac1{n\ln n}$durch den Integraltest divergiert, da das uneigentliche Integral$\int_3^\infty\frac{1\ dx}{x\ln x}$ist leicht als divergent zu sehen, nachdem eine Substitution vorgenommen wurde$u=\ln x$, ein Standardbeispiel in den meisten Büchern über Analysis.
Auch,$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=$ $1+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(−1)^n}{\ln n}=1$. So$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac11=1$.)

(Auch natürlich nur, um es noch einmal anzumerken, wenn wir es zulassen$a_n=-\frac{(−1)^n}n=\frac{(−1)^{n-1}}n$dann hätten wir das
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-1$, während$\sum a_n$konvergiert und$\sum b_n$weicht ab).

Bearbeiten (Adressierung eines Kommentars von @helpme).
Intuitiv ist das richtig, Wechselserien sind schuld. Genauer gesagt: Reihen, die nicht absolut konvergent sind (d. h. Reihen, die nur bedingt konvergent sind), bedeutet dies per Definition$\sum_na_n$konvergiert aber$\sum_n|a_n|=\infty$ist nicht konvergent. In einer solchen Reihe gibt es unendlich viele positive und unendlich viele negative Terme, aber die Vorzeichen müssen sich nicht unbedingt gemäß a abwechseln$(-1)^n$Regel. Etwas wie$1-\frac12-\frac13+\frac14-\frac15-\frac16...$.
Aber wenn eine der Reihen absolut konvergent ist (zB wenn$\sum_n|a_n|$konvergiert) und wenn$\lim_\limits{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c\in(-\infty,0)$dann hätten wir unbedingt$\lim_\limits{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|b_n|}=|c|\in(0,\infty)$So$\sum_n|b_n|$konvergiert, was wiederum dies impliziert$\sum_nb_n$ist auch konvergent.

Ihre Intuition ist richtig, was wir in der Tat brauchen, um LCT anzuwenden, ist, dass die allgemeinen Begriffe der beiden Reihen schließlich ein konstantes Vorzeichen haben.

Nehmen Sie das schließlich an$a_n\ge 0$,$b_n >0$Und$\exists c\in \mathbb R$

per Grenzwertvergleichstest können wir darauf schließen

• $\sum b_n<\infty \implies \sum a_n <\infty$
• $\sum b_n=\infty \implies \sum a_n =\infty$

Dann lass$d_n=-b_n <0$und wir erhalten

Daher können wir auf die gleiche Weise wieder auf den Grenzwertvergleichstest auch für zurückschließen$c$Negativ.

Beachten Sie auch das, vorausgesetzt, dass dies schließlich der Fall ist$a_n\ge 0$,$b_n >0$, Limit-Vergleichstest funktioniert auch für die folgenden Extremfälle

• $\sum b_n <\infty \, \land\,\frac{a_n}{b_n}\to 0 \implies \sum a_n <\infty$

• $\sum b_n =\infty \, \land\,\frac{a_n}{b_n}\to \infty \implies \sum a_n =\infty$

Der Vergleichstest ist für Reihen positiver Zahlen. Daher können Sie unmöglich haben$c<0$. Und wenn du hattest$c=0$, dann könntest du haben$a_n=\frac1{n^2}$Und$b_n=\frac1n$. Dann$c$ Ist $0$, die Serie$\sum_{n=1}^\infty a_n$konvergiert, und die Reihe$\sum_{n=1}^\infty b_n$weicht ab.