Die Cantor-Menge ist homöomorph zum unendlichen Produkt von {0,1}{0,1}\{0,1\} mit sich selbst - Zylinderbasis - und ihrer Topologie

Question

Die Cantor-Menge ist homöomorph zum unendlichen Produkt von {0,1}{0,1}\{0,1\} mit sich selbst - Zylinderbasis - und ihrer Topologie

Cantor-Satz
Mathematik
Produktraum
Realanalyse
Allgemeine Topologie
elementare Mengenlehre

Nat

Ich weiß, dass das Cantor-Set wahrscheinlich die ganze Zeit in Hausaufgabenfragen auftaucht, aber ich habe nicht viele Hinweise gefunden - die ich zumindest verstanden habe.

Ich soll für eine Hausaufgabe zeigen, dass die Cantor-Menge homöomorph zum unendlichen Produkt (ich nehme an, abzählbar unendlich?) von ist $\{0,1\}$ mit sich.

Mitglieder dieses Zwei-Punkte-Raums (?) sind also Dinge wie $(0,0,0,1)$ Und $(0,1,1,1,1,1,1)$ , usw.

Erstens denke ich, dass ein Homöomorphismus (der „topologische Isomorhismus“) eine Abbildung zwischen zwei Topologien ist (für die Cantor-Mengen, welche Topologie ist das? diskret?), die kontinuierliche, bijektive Funktionen haben.

Ich bin also ziemlich verloren und weiß nicht einmal, was ich noch sagen soll! :( Ich habe so etwas beim Lesen einiger Texte gesehen, etwas über

F : \sum_{ich = 1}^{+ \infty} \frac{A_{ich}}{3^{ich}} \mapsto \sum_{ich = 1}^{+ \infty} \frac{A_{ich}}{2^{ich + 1}},

$f: \sum_{i=1}^{+\infty}\,\frac{a_i}{3^i} \mapsto \sum_{i=1}^{+\infty}\,\frac{a_i}{2^{i+1}} ,$ für

a_{i} = 0, 2

$a_i = 0,2$ . Aber in gewisser Weise scheint dies eine 'Ergänzung' dessen zu sein, was ich brauche ... Anscheinend soll ich nur ternäre Zahlen verwenden, die mit dargestellt werden

0

$0$ ist und

1

$1$ ist drin; Zum Beispiel,

0. a_{1} a_{2} \dots = 0.01011101

$0.a_1\,a_2\,\ldots = 0.01011101$ ?

Vielen Dank für jede Starthilfe!

Hier ist die wörtliche Hausaufgabenfrage:

Das Standardmaß auf der Cantor-Menge wird durch den Cantor angegeben $\phi$ Funktion, die bei fehlenden Dritteln konstant und bei ternären rationalen Zahlen dyadisch ist.

Zeigen Sie, dass die Cantor-Menge homöomorph zum unendlichen Produkt von ist $\{0,1\}$ mit sich.

Wie sollen wir dieses Produkt tologisieren?

(Hinweis: Dieses Produkt ist dasselbe wie die Menge aller unendlichen Binärfolgen)

Korrigieren Sie eine Binärdatei $n$ -Tupel $(a_1,\ldots, a_n)$ (zum Beispiel $(0,1,1,0,0,0)$ Wenn $n = 6$ ).

Zeigen Sie, dass das Cantor-Punktmaß ( $b_k$ ) mit $b_k=a_k$ für $k \leq n$ Und $b_k \in \{0,1\}$ willkürlich für $k>n$ , ist genau $1/2^n$ . Diese werden Zylinder genannt. (Sie sind die offenen Mengen, aber auch geschlossen!)

Sebastian P. Pincheira

Für einige Bibliographie: Topology von James Dugundji, Kapitel IV Abschnitt 4 enthält einen detaillierten Beweis zusammen mit einer Anwendung auf Peano Curves.

Antworten (3)

Die Cantor-Menge ist homöomorph zum unendlichen Produkt von {0,1}{0,1}\{0,1\} mit sich selbst - Zylinderbasis - und ihrer Topologie

Für einige Bibliographie: Topology von James Dugundji, Kapitel IV Abschnitt 4 enthält einen detaillierten Beweis zusammen mit einer Anwendung auf Peano Curves.

Brian M. Scott · Answer 1

Ich gehe davon aus, dass sich der Cantor-Satz hier auf den Standard-Cantor-Satz für mittlere Drittel bezieht $C$ hier beschrieben . Es kann als die Menge der reellen Zahlen in beschrieben werden $[0,1]$ mit ternären Erweiterungen, die nur die Ziffern verwenden $0$ Und $2$ , dh reelle Zahlen der Form

\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{A_{N}}{3^{N}},

$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{3^n},$ wo jeweils

a_{n}

$a_n$ entweder

0

$0$ oder

2

$2$ .

Für jede positive ganze Zahl $n$ lassen $D_n = \{0,1\}$ mit der diskreten Topologie, und let

X = \prod_{N = 1}^{\infty} D_{N}

$X = \prod_{n=1}^\infty D_n$ mit der Produkttopologie. Elemente von

X

$X$ sind unendliche Folgen von

0

$0$ ist und

1

$1$ 's, also

(0, 0, 0, 1)

$(0,0,0,1)$ Und

(0, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

$(0,1,1,1,1,1,1)$ sind keine Elemente von

X

$X$ ; wenn Sie diese mit einer unendlichen Zeichenfolge auffüllen

0

$0$ ist zu bekommen

(0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, \dots)

$(0,0,0,1,0,0,0,0,\dots)$ Und

(0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, \dots)

$(0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,\dots)$ , Sie erhalten jedoch Punkte von

X

$X$ . Ein interessanter Punkt von

X

$X$ ist die Folge

(p_{n})_{n}

$(p_n)_n$ , Wo

p_{n} = 1

$p_n = 1$ Wenn

n

$n$ ist prim, und

p_{n} = 0

$p_n = 0$ Wenn

n

$n$ ist nicht prim.

Ihr Problem ist, das zu zeigen $C$ , mit der Topologie, von der es erbt $\mathbb{R}$ , ist homöomorph zu $X$ . Dazu müssen Sie eine Bijektion finden $h:C\to D$ so dass beides $h$ Und $h^{-1}$ sind kontinuierlich. Der Vorschlag, den Sie gefunden haben, ist zu lassen

H (\sum_{N = 1}^{\infty} \frac{A_{N}}{3^{N}}) = (\frac{A_{1}}{2}, \frac{A_{2}}{2}, \frac{A_{3}}{2}, \dots) .

$h\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{3^n}\right) = \left(\frac{a_1}2,\frac{a_2}2,\frac{a_3}2,\dots\right).$ Beachten Sie, dass

\frac{A_{N}}{2} = {\begin{cases} 0, & Wenn A_{N} = 0 \\ 1, & Wenn A_{N} = 2, \end{cases}

$\frac{a_n}2 = \begin{cases}0,&\text{if }a_n=0\\1,&\text{if }a_n=2,\end{cases}$ Das definiert also wirklich einen Punkt

X

$X$ . Das ist wirklich eine Bijektion: if

b = (b_{n})_{n} \in X

$b = (b_n)_n \in X$ ,

H^{- 1} (B) = \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{2 B_{N}}{3^{N}} .

$h^{-1}(b) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2b_n}{3^n}.$

@nate: Die Antwort auf deine erste Frage lautet ja , vorausgesetzt, du schaust dir nur Serien an, in denen alle $a_n$ '2 sind $0$ oder $2$ . Beim Entfernen $(1/3,2/3)$ , werden Sie alle Zahlen los, deren einzige ternäre Erweiterungen beginnen $0.1$ . Beim Entfernen $(1/9,2/9)\cup(7/9,8/9)$ Sie werden diejenigen los, deren einzige ternäre Erweiterungen beginnen $0.01$ oder $0.21$ . Usw. Zu deiner zweiten Frage: nein, $D_3 = \{0,1\}$ . Es ist nur einer der Faktorräume im unendlichen Produkt. Eine Folge von $0$ ist und $1$ 's ist Mitglied dieses Produkts.
Ich glaube, ich bekomme es hin, wenn auch langsam. Meine Hauptverwirrung (für einen anderen Beitrag, wenn ich es gut formuliert habe) stammt von der Seite "Cantor Set" auf Wikipedia, auf der der Autor sagt, ich solle die binäre Darstellung von nehmen $3/5_{10} \mapsto 0.10011001..._{2}$ und ersetze alle 1er durch 2er. In Basis-3 (mit 0,1,2) ist 3/5 0,12101210 ... Ich denke, dies muss ein weiterer Beitrag sein oder sich näher damit befassen - dieser Austausch von 1 durch 2. Oder ist das ein Trick, um nur das mittlere Drittel loszuwerden?
@nate: Es ist nur ein Trick, um die mittleren Drittel loszuwerden. Wenn Sie die ersetzen $1$ 's in einer binären Erweiterung von $2$ 's und interpretieren Sie das Ergebnis ternär, erhalten Sie eine andere Zahl. Tatsächlich ergeben die beiden binären Erweiterungen eines dyadischen Rationals unterschiedliche Zahlen: $1/2_\text{ten}=0.10000\dots_\text{two}$ gibt Ihnen $0.20000\dots_\text{three}=2/3_\text{ten}$ , während $1/2_\text{ten}=0.01111\dots_\text{two}$ gibt Ihnen $0.02222\dots_\text{three}=1/3_\text{ten}$ : Sie haben sich getrennt $1/2_\text{ten}$ in zwei.
Faszinierend! Nun, ich erinnere mich, irgendwo (ich muss darüber nachlesen) die Möglichkeit für nicht-injektive Beziehungen zwischen Zahlensystemen gesehen zu haben. Nun, ich verstehe mein Hausaufgabenproblem vollständig und sehe, wie / warum es nach Basis-3-Zahlen fragt, die 0 und 1 verwenden, und nicht 2. Vielen Dank!
Wie können wir das beweisen $h$ ist kontinuierlich? Ich meine, was ist $f^{-1} (B)$ mit $B$ eine grundlegende offene Menge von $\{0,1\} ^{\mathbb{N} }$ ? Ich sehe es nicht.
@ Whoknows: Lass $\sigma=\langle b_0,\ldots,b_n\rangle$ sei eine endliche Folge von Nullen und Einsen und sei $B (σ) = {X \in X : X_{k} = B_{k} für k = 0, \dots, N};$ $B(\sigma)=\{x\in X:x_k=b_k\text{ for }k=0,\ldots,n\}\;;$ Die Sätze $B(\sigma)$ sind eine Basis für $X$ . $h^{-1}[B(\sigma)]$ ist die Menge aller Punkte von $C$ dessen ternäre Erweiterungen beginnen $0.(2b_0)(2b_1)\ldots(2b_n)$ , und es ist nicht schwer zu überprüfen, ob dies ein Clopen-Set ist $C$ . Tatsächlich ist es die Menge der Punkte in $C$ die sich in einem der geschlossenen Intervalle auf der Bühne befinden $n+1$ der üblichen Bauweise .
Nur ich frage mich, was daran so interessant sein soll $\sum3^{-p_n}$ ?

LostInMath · Answer 2

Notiere dass der $1/3$ -Cantor setzte ein $[0,1]$ kann als Menge der reellen Zahlen der Form dargestellt werden $\sum_{n=1}^\infty a_n/3^n$ Wo $a_n\in\{0,2\}$ für jede $n\in\mathbb{N}$ . Ein gesuchter Homöomorphismus ist die Funktion $f$ die den Punkt abbildet $\sum_{n=1}^\infty a_n/3^n$ in der Cantor-Menge zur Sequenz $(a_n/2)_{n=1}^\infty$ im Produkt $\{0,1\}^\mathbb{N}$ . Das Produkt $\{0,1\}^\mathbb{N}$ besteht aus abzählbar unendlichen Folgen von $0$ ist und $1$ 'S. Beachten Sie, dass kein endliches Tupel wie z $(0,0,0,1)$ ist in $\{0,1\}^\mathbb{N}$ . Das Produkt ist so topologisiert, dass jeder Faktor $\{0,1\}$ wird die diskrete Topologie gegeben und dann wird dem Produkt die Produkttopologie gegeben .

Das wollen Sie beweisen $f$ ist eine stetige und offene Bijektion. Die Bijektivität ist sehr einfach zu zeigen. Für die Kontinuität möchten Sie möglicherweise die Tatsache verwenden, dass die Produkttopologie von $\{0,1\}^\mathbb{N}$ wird durch die Mengen des Formulars erzeugt $U(N,a)=\{(a_n)_{n=1}^\infty\in\{0,1\}^\mathbb{N}:a_N=a\}$ Wo $N\in\mathbb{N}$ Und $a\in\{0,1\}$ , und daher genügt es zu zeigen, dass die Urbilder dieser Mengen $U(N,a)$ sind in der Cantor-Menge offen. Um das endlich zu zeigen $f$ offen ist, können Sie die folgende allgemeine Tatsache verwenden: Eine stetige Bijektion von einem kompakten Raum zu einem Hausdorff-Raum ist offen.

Vielen Dank auch für die Mühe. Ich muss mehr darüber lesen, wie man zeigt $f$ ist offen. Allerdings stecke ich ein wenig beim Beweis der Bijektivität fest. Ich habe die Injektivität erhalten, indem ich sagte, dass zwei verschiedene Urbildelemente zu unterschiedlichen Elementen im Bildsatz führen. Aber wie sieht es mit der Surjektivität aus? Das ist immer noch schwer..... Irgendwelche Ratschläge?
@nate: Wenn Sie wissen, dass das Cantor-Set dasselbe ist wie $\{\sum_{n=1}^\infty a_n/3^n:\forall n\in\mathbb{N}(a_n\in\{0,2\})\}$ , dann ist die Surjektivität leicht zu sehen: Pick $y=(a_n)_{n=1}^\infty\in\{0,1\}^\mathbb{N}$ , Dann $x=\sum_{n=1}^\infty 2a_n/3^n$ ist in der Cantor-Menge und $f(x)=y$ .
@nate: Der Beweis der letzten Behauptung ist ein nettes kleines Wechselspiel zwischen Kompaktheit und Geschlossenheit. Beachten Sie zunächst, dass eine Bijektion offen ist, wenn sie geschlossen ist (folgt leicht aus „eine Teilmenge ist offen, wenn das Komplement geschlossen ist“). Lassen $f:X\to Y$ sei eine stetige Bijektion zwischen einem kompakten und einem Hausdorff-Raum. Wählen Sie eine geschlossene Teilmenge $F$ von $X$ . Da eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes kompakt ist und $f$ ist kontinuierlich, $f(F)$ ist kompakt. Da eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raums abgeschlossen ist, $f(F)$ ist eingesperrt $Y$ . Somit $f$ ist eine geschlossene (äquivalent offene) Funktion.

Yuval Filmus · Answer 3

Die Cantor-Menge besteht aus Zahlen, deren ternäre Entwicklung nur verwendet wird $0$ s und $2$ S. Es gibt also eine "natürliche" Bijektion zwischen der Cantor-Menge und $\{0,1\}^\omega$ , oder eher $\{0,2\}^\omega$ . Alles andere sollte einfach "klappen".

Beachten Sie, dass $\{0,1\}^\omega$ besteht aus allen unendlichen Folgen von $0$ Und $1$ .

Die Cantor-Menge ist homöomorph zum unendlichen Produkt von {0,1}{0,1}\{0,1\} mit sich selbst - Zylinderbasis - und ihrer Topologie

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Sebastian P. Pincheira

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Brian M. Scott

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Nat

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Wer weiß

Brian M. Scott

zweimal derselbe Fluss

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LostInMath

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Yuval Filmus

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