Warum gab es keine Vereinheitlichung der Axiome der Topologie und der Axiome der Maßtheorie?

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Die Axiome eines topologischen Raums und eines Maßraums scheinen sich anfangs sehr ähnlich zu sein. Sie unterscheiden sich in den Schließungsaxiomen von Vereinigungen und Durchschnitten. Die unheimliche Ähnlichkeit zwischen einer Metrik und einem Maß lässt mich fragen, warum diese Axiome separat definiert wurden. Könnten sie nicht eine Theorie nur mit dem Konzept eines Maßes und eines Maßraums entwickeln?

Das einzige Problem, das ich sehe, ist, dass es zu einer Zirkellogik führen könnte. Wenn wir topologische Raumaxiome benötigen , um Konzepte in der Maßtheorie zu entwickeln, ist dies ein Grund, warum wir die beiden Konzepte trennen müssten. Die Schließung willkürlicher Vereinigungen gegenüber zählbaren Vereinigungen und endlicher Schnittpunkte gegenüber zählbarer Schnittpunkte ist nicht etwas, was ich als den einzigen Unterschied zwischen den beiden Konzepten sehen möchte. Warum zwei getrennte Systeme, wenn es sich zumindest von vornherein um sehr ähnliche Konzepte handelt?

Eine Kennzahl weist Teilmengen von Nummern zu X (z. B. ihr Volumen), während eine Metrik Punktpaaren Zahlen zuordnet X (Ihre Entfernung). Welche Ähnlichkeit sehen Sie hier, die auf eine Verallgemeinerung hindeutet?
Messbare Mengen sind unter Komplement abgeschlossen; offene Mengen sind es nicht. Die beiden Themen haben sehr unterschiedliche Anliegen. Über die Ebene des "allgemeinen abstrakten Unsinns" hinaus ist nicht klar, dass es viel über die Kategorie der Strukturen zu sagen gibt, die Sie im Sinn haben und die sowohl Maß- als auch topologische Räume enthält. Mitglieder dieser Kategorie müssen unter zählbaren Vereinigungen und endlichen Schnittpunkten abgeschlossen sein und nicht unbedingt komplementieren. Gibt es zwei nichttriviale Theoreme, einen der Maßtheorie und den anderen der Topologie, die nur Varianten sind und im Wesentlichen denselben Beweis haben? (Rhetorische Frage.)
Die Definitionen einer Topologie und a σ -Algebra mögen ähnlich erscheinen, sind aber in der Praxis unterschiedlich. Die meisten Topologien, denen Sie begegnen, sind dies nicht σ -Algebren und umgekehrt. Eine Sammlung von Teilmengen, die sowohl eine Topologie als auch eine ist σ -Algebra ist die gesamte Potenzmenge, sobald sie ist T 1 . Eine solche Sammlung ist also entweder dieses eine triviale Beispiel oder eher hässlich.
@Thorgott Ich muss tiefer über diese Frage nachdenken, aber der Grund, warum ich diese Frage gestellt habe, ist, dass eine Metrik zu Beginn ein Maß zu sein scheint, das für ein Punktepaar definiert ist. Warum also nicht einfach eine Metrik als Maß definieren, das auf zwei Punkte beschränkt ist? In ähnlicher Weise ist die Volumenmetrik in höheren Dimensionen im Wesentlichen ein Maß. Warum also die Dinge verkomplizieren, indem Sie einen weiteren Satz von Axiomen für eine Topologie definieren, wenn Sie einen schönen Satz von Axiomen für ein Maß haben, das so gut zu all dem passen könnte, was eine Metrik leisten kann?
@Christoph Könnten wir eine Metrik nicht als Maß für Punktpaare definieren? In einer Dimension könnten Sie die Metrik einfach so definieren, dass sie mit dem Lebesgue-Maß auf dem Intervall identisch ist, dessen Endpunkte die beiden Punkte sind, deren Distanzmetrik definiert wird? Warum brauchen wir eine andere Definition für einen topologischen Raum, wenn Sie einen (von Anfang an) perfekt geeigneten Kandidaten haben, um eine Metrik durch ein Maß zu definieren?
Machen Sie sich zunächst klar, ob Sie zwischen sich über Analogien sprechen wollen σ -Algebren und Topologien oder zwischen Maßen und Metriken, denn das sind unterschiedliche Vergleiche. In nicht diskreten Maßräumen ist das Maß eines Punktepaars immer Null, sodass das, was Sie vorschlagen, nicht wirklich funktioniert. Jetzt bieten Sie die Alternative an, den Abstand als Maß für die Verbindungslinie zu definieren, und das funktioniert, aber nur, weil wir in Vektorräumen den Begriff der geraden Linie haben. Dies lässt sich überhaupt nicht auf beliebige Maßräume verallgemeinern.
Andererseits gibt es in der Riemannschen Geometrie den Begriff der Geodäten (kürzeste Wege) zwischen zwei Punkten auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, und die Länge einer Geodäte, die zwei Punkte verbindet (grob gesagt), dient als Metrik für die Mannigfaltigkeit, die die Topologie eins induziert begann mit, also könnte dies eine Verallgemeinerung Ihrer Idee sein. Aber dennoch sind Maßräume viel, viel, viel allgemeiner als Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
@Thorgott Ich hätte deutlicher sagen sollen, was ich wissen wollte. Sicher genug, das Maß an zwei isolierten Punkten ist Null und es könnte auf die von Ihnen vorgeschlagene Weise behoben werden. Der letzte Punkt, den Sie erwähnen, ist jedoch kritisch. Sie sagen, dass dies nicht auf beliebige Maßräume verallgemeinert werden kann? Was bedeutet das genau? Angesichts eines beliebigen Platzes wie R N , eine Metrik kann immer als das Lebesgue-Maß auf dem offenen Ball definiert werden, den Sie in Betracht ziehen, richtig?
Dies bedeutet, dass es keine gerade Linie zwischen zwei Punkten in einem beliebigen Maßraum gibt. Die meisten Leerzeichen sind nicht wie R^n. Sie möchten eine Metrik als Lebesgue-Maß (das nur auf R^n sinnvoll ist) einer offenen Kugel definieren? Welche offene Kugel (es gibt viele)? Ich kann nicht wirklich folgen, was Sie zu tun versuchen. Der Begriff des offenen Balls hängt zunächst von einer gewählten Topologie ab.
@Thorgott, zumindest nach der Verwendung in Wikipedia wollen Sie wahrscheinlich atomare Maßnahmen ausschließen , nicht diskrete Maßnahmen .
Es ist nicht klar, aber vielleicht sollte der Vorschlag sagen, dass das Maß eine Kugel mit dem kleinsten Maß enthält X Und j könnte als eine Art Stellvertreter für den Abstand zwischen genommen werden X Und j ? Es ist nicht klar, dass es für allgemein gemessene metrische Räume und sogar für gut definiert ist R N Es ist nicht buchstäblich eine Metrik, außer wann N = 1 , aber ist das die Art von Sache, die Sie in Betracht ziehen wollen?
@LSpice Richtig, danke für die Korrektur.

Antworten (1)

Topologien u σ -Algebren werden mit unterschiedlichen Zielen entwickelt. σ -Algebren sind so konzipiert, dass sie gut mit Maßen spielen, die eine verallgemeinerte Art von Volumenmesskarten sind. Topologien sollen eine Vorstellung von "Nähe" erfassen: wann ist ein Punkt X nahe an einem Satz S ? Wenn jede offene Nachbarschaft von X schneidet S . Wann kommt eine Sequenz willkürlich nahe X ? Wenn jede offene Nachbarschaft von X enthält Punkte in der Folge. Solche Sachen. Daher ist es nicht verwunderlich, dass Topologien und σ -Algebren sind anders.

Aber! Wenn wir weiter darüber nachdenken, werden wir vielleicht intuitiv feststellen, dass die offenen Umgebungen eines Punktes diejenigen sind, die ein bestimmtes Volumen haben. Zum Beispiel, wenn ich einen offenen Ball herumlege X , kann ich sagen, dass es ein Volumen ungleich Null hat. Und σ -Algebren wurden entwickelt, um Volumenmessungen zu ermöglichen. Sollten also nicht alle offenen Mengen irgendwie zu a gemacht werden σ -Algebra? Schließlich kann es praktisch sein, solchen Sets ein Volume zuzuweisen. Und die Antwort ist ja, das macht Sinn. Wir würden es sehr begrüßen, wenn wir offenen Sets ein Volumen zuweisen könnten. Dies würde beispielsweise kontinuierlichen Funktionen erlauben, gut mit der Lautstärke zu spielen, da kontinuierliche Funktionen gut mit offenen Mengen funktionieren. Und deshalb definieren wir das Borel σ -Algebra : einen topologischen Raum gegeben ( X , τ ) , definieren wir die Borel σ -Algebra an X als B ( X ) := σ ( τ ) , das ist das kleinste σ -Algebra mit allen offenen Teilmengen von X , also alle Teilmengen die Volumen haben sollen. Jetzt ( X , B ( X ) ) ist ein messbarer Raum, auf dem wir ein Maß definieren könnten μ jeder offenen Menge einen Band zuzuordnen, wenn wir dazu geneigt wären. Dieser Ansatz wird beispielsweise häufig verwendet, um das Lebesgue-Maß zu definieren. Wir nehmen jede offene Menge von R N und weisen ihm das Volumen zu, das er intuitiv haben sollte, und dann nehmen wir alle anderen Mengen, die wir erhalten könnten, indem wir diese vereinigen und schneiden, und weisen ihnen ein Volumen zu, das mit der Definition eines Maßes übereinstimmt. (Es gibt einen "besseren" Ansatz mit äußeren Maßen, der mehr messbare Mengen ergibt, aber dieser ist einfacher.)

Aber die Borel σ -Algebra ist nur eine bestimmte σ -Algebra möchten wir vielleicht. Für andere Anwendungen könnten andere besser funktionieren, insbesondere wenn wir uns nicht wirklich um ein Gefühl der Nähe auf dem zugrunde liegenden Set kümmern. Dann brauchen wir keine Topologie, also warum unsere einschränken σ -Algebra mit einer Topologie?

Ihre Erklärung gibt viel Aufschluss. Der Hauptgrund, warum ich die Frage gestellt habe, ist, zu wissen, warum wir eine Metrik nicht einfach als ein Maß definieren können, das auf zwei Punkte beschränkt ist, die so definiert sind, wie sie ist. Auf diese Weise haben Sie Ihre Definition einer Metrik, aber durch die Definition einer Kennzahl. Während ein Maß allgemeinere Formen annehmen kann, könnte eine Metrik einfach als ein Maß definiert werden, das auf zwei Punkte beschränkt ist. Warum verwenden wir einen anderen Satz von Axiomen für einen topologischen Raum? Schließlich misst eine Metrik die Entfernung zwischen zwei Punkten und qualifiziert sich daher als Maß, oder?
Wir könnten einen Weg finden, um: 1. eine Linie zu definieren, die zwei Punkte verbindet, 2. ein Analogon des 1d-Hausdorff-Maß auf diesem Raum zu definieren, und 3. die Metrik als das Hausdorff-Maß der Linie zu definieren, die zwei Punkte verbindet. Aber wir müssten dafür sorgen, dass das wirklich für jede mögliche Metrik machbar ist, und dann ist die Konstruktion noch mit viel Overhead verbunden. Außerdem ist nicht jeder topologische Raum metrisierbar, daher funktioniert dieser Ansatz nicht für einen allgemeinen topologischen Raum. Manchmal ist es einfach einfacher, mehr verschiedene Strukturen einzuführen, als eine gegebene Struktur in ein geeignetes Verhalten zu zwingen.
Genau das habe ich vermutet. Es ist vielleicht möglich, eine Metrik als Einschränkung eines Maßes für offene Bälle zu definieren, aber wie Sie bereits erwähnt haben, ist dies für verschiedene Arten von Metriken und topologischen Räumen möglicherweise nicht immer möglich. Sicher genug, ich muss mir mehr Wissen aneignen, um diese Tatsachen zu würdigen.
Ich denke, der Satz "Manchmal ist es einfach einfacher, mehr verschiedene Strukturen einzuführen, als eine gegebene Struktur in ein passendes Verhalten zu zwingen." bringt die „richtige“ Antwort auf diese Frage so prägnant auf den Punkt, dass es sich lohnen könnte, sie in Ihre Antwort aufzunehmen. ('Richtig' in Anführungszeichen, weil es mein subjektives Urteil ist, nicht wegen Schreckenszitate.)
@LSpice Ich nehme an, dein kurzer Kommentar fasst die Antwort gut zusammen :)
Warum gab es keine Vereinheitlichung der Axiome der Topologie und der Axiome der Maßtheorie?
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