Fundamentalsatz der Analysis

Hinzugefügt.

Der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral und der totalen Änderung einer Akkumulationsfunktion reicht weit vor Poisson, Cauchy oder Riemann zurück. Es gibt einen netten historischen Überblick in einem kürzlich erschienenen Artikel von David M. Bressoud, Historical Reflections on Teaching the Fundamental Theorem of Integral Calculus, veröffentlicht im Monthly letzten Februar. Eine Version finden Sie in Leibniz' Werk von 1693, wo er schreibt:

„Ich werde nun zeigen, dass das allgemeine Problem der Quadraturen auf das Finden einer Linie reduziert werden kann, die ein gegebenes Tangentialgesetz hat, d. h. für die die Seiten des charakteristischen Dreiecks eine bestimmte gegenseitige Beziehung haben. Dann werde ich zeigen, wie diese Linie kann durch eine von mir erfundene Bewegung beschrieben werden."

"Das Problem der Quadraturen" ist das Problem der Flächenfindung. Der Beweis von Leibniz, der rein geometrisch ist (Sie finden ihn in Bressouds Artikel), folgt aus dem Verständnis von Flächen und Tangenten als bestimmte Summen und Differenzen. Aber sie stammt nicht von Leibniz: Isaac Barrow hat in seinen Lectiones geometricae (1670) einen Beweis geliefert; und James Gregory gibt einen in seinen Geometriae pars universalis (1668). Gregory zeigt, dass das Ermitteln der Länge einer Kurve dem Ermitteln der Fläche unter einer verwandten Kurve entspricht: Er zeigt, dass es eine Konstante gibt$c$, gewählt in Abhängigkeit von bestimmten gegebenen Verhältnissen, die Länge der Kurve$y=f(x)$aus$x=a$Zu$x=b$gleich der Fläche unter der Kurve$y=c\sqrt{1+(f'(x))^2}$(obwohl natürlich nicht so ausgedrückt). Er befasst sich dann mit der Umkehrung: gegeben$y=g(x)$An$[a,b]$, eine Kurve finden$y=u(x)$damit der Bereich unter der$y=g(x)$ist gleich der Länge von$y=u(x)$. Er beweist, dass wenn

$$u(x) = \frac{1}{c}\int_a^x z(t)\,dt$$ Dann $z/c$beschreibt die Steigung der Tangente an $u$; diese "enthält" die zweite FTC.

Noch früher war der erste Teil dessen, was Gregory tat, von Hendrick van Heureat gemacht worden, der 1659 in van Schootens Ausgabe von Descartes' Geometry veröffentlicht wurde .

Newton dagegen liefert eine Art "dynamischen Beweis" der FTC; Es hat seine Wurzeln in Oresmes Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum (1350), in dem er zeigt, dass, wenn Sie die Geschwindigkeit durch eine Kurve darstellen, die Fläche unter der Kurve der zurückgelegten Entfernung entspricht (d. h. das Integral der Ableitung gleich ist die totale Änderung der Funktion, der erste Teil der FTC).

Als also Cauchy und Riemann ihre Definitionen von Integralen gaben, lag die FTC (beide Teile) bereits auf „dem Tisch“; sie hatten die Beweislast, dass ihre Definitionen die FTC implizierten. Die FTC war für sie also bereits "sichtbar" (genau wie für Lebesgue), sie mussten weder das erste noch das zweite Theorem hypothetisieren oder vorschlagen. Sie mussten nur zeigen, dass ihre Definitionen so waren, dass die Theoreme für ihre Integrale galten . Ähnlich wie Lebesgue zeigen musste, dass seine Definition des Integrals mit der von Riemann übereinstimmte, wo sie beide definiert waren, aber das bedeutete nicht, dass er Riemanns Definition des Integrals von Grund auf neu erfinden musste: Sie war bereits da, er musste es nur tun zeigen, dass seine Definition die alten Eigenschaften nicht verändert hat.

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Ja, es gibt Versionen des Fundamentalsatzes der Analysis, die für andere Arten von Integralen gelten. Eine gute Ressource ist A Garden of Integrals von Frank E. Burke. Die folgenden Ausführungen sind dort entnommen.

Das Cauchy-Integral

Die Cauchy-Definition des Integrals (von 1823) lautet wie folgt:

Gegeben sei eine beschränkte Funktion$f$An$[a,b]$, teilen$[a,b]$in eine endliche Anzahl zusammenhängender Teilintervalle$[x_{k-1},x_k]$,$a= x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b$. Die Cauchy-Summe von$f$Ist

$$\sum_{k=1}^n f(x_{k-1})(x_k-x_{k-1}).$$ (Dies entspricht im heutigen Sprachgebrauch einer linken Summenauswertung). Das sagen wir $f$ist Cauchy-integrierbar auf $[a,b]$wenn und nur wenn es eine Zahl gibt $A$so dass für jeden $\epsilon\gt 0$es existiert $\delta\gt 0$so dass für jede Partition $P$von $[a,b]$deren Teilintervalle eine Länge kleiner als haben $\delta$, wir haben $$\left|\sum_{P} f(x_{k-1})(x_k-x_{k-1}) - A\right| \lt \epsilon.$$ Cauchy hat bewiesen, dass kontinuierliche Funktionen Cauchy-integrierbar sind, obwohl dies die Klasse nicht erschöpft. Wir haben die folgenden "FTC"s für das Cauchy-Integral:

FTC für das Cauchy-Integral. Wenn$F$ist eine differenzierbare Funktion auf$[a,b]$, Und$F'$ist durchgehend an$[a,b]$, Dann$F'$ist nach Cauchy integrierbar$[a,b]$Und

$$C\int_a^x F'(t)\,dt = F(x)-F(a)$$ für jede $x$In $[a,b]$.

Hier,$C\int$bezeichnet das Cauchy-Integral.

FTC Teil 2 für das Cauchy-Integral. Wenn$f$ist eine stetige Funktion auf dem Intervall$[a,b]$, und wir definieren eine Funktion$F$An$[a,b]$von$F(x) = C\int_a^xf(t)\,dt$, Dann$F$differenzierbar ist$[a,b]$,$F' = f$An$[a,b]$, Und$F$ist absolut durchgehend an$[a,b]$.

Wir haben auch einen Konvergenzsatz:

Konvergenz für Cauchy-integrierbare Funktionen. Wenn$\{f_k\}$ist eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen konvergieren$f$An$[a,b]$, Dann$f$ist nach Cauchy integrierbar$[a,b]$Und$C\int_a^bf(x)\,dx = \lim C\int_a^b f_k(x)\,dx$.

Das Riemannsche Integral

Die Definition des Riemannschen Integrals ist die übliche. Lebesgue bewies 1902, dass eine beschränkte Funktion auf$[a,b]$ist über Riemann integrierbar$[a,b]$genau dann, wenn es fast überall stetig ist.

FTC für das Riemann-Integral. Wenn$F$ist eine differenzierbare Funktion auf dem Intervall$[a,b]$, Und$F'$ist fast überall beschränkt und stetig$[a,b]$, Dann$F'$ist über Riemann integrierbar$[a,b]$, Und

$$R\int_a^x F'(t)\,dt = F(x) - F(a)$$ für jede $x$im Intervall $[a,b]$.

FTC Teil 2 für das Riemann-Integral. Vermuten$f$ist eine beschränkte und fast überall stetige Funktion auf dem Intervall$[a,b]$. Lassen$F$An$[a,b]$definiert werden durch$F(x)=R\int_a^x f(t)\,dt$. Dann$F$ist absolut durchgehend an$[a,b]$; Wenn$f$ist stetig bei$x_0\in[a,b]$, Dann$F$ist differenzierbar bei$x_0$Und$F'(x_0)=f(x_0)$; Und$F'=f$fast überall.

Konvergenz für integrierbare Riemann-Funktionen. Wenn$\{f_k\}$ist eine Folge von Riemann-integrierbaren Funktionen, die gleichmäßig gegen konvergieren$f$An$[a,b]$, Dann$f$ist Riemann integrierbar und$R\int_a^b f(x)\,dx = \lim R\int_a^b f_k(x)\,dx$.

Riemann-Stieltjes-Integral

Lassen$f$Und$\phi$seien zwei beschränkte Funktionen auf$[a,b]$. Das sagen wir$f$ist bezüglich Riemann-Stieltjes integrierbar$\phi$wenn und nur wenn es eine Zahl gibt$A$so dass für jeden$\epsilon\gt 0$es existiert ein$\delta\gt 0$so dass

$$\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\bigl(\phi(x_k) - \phi(x_{k-1})\bigr) - A\right|\lt \epsilon$$ Wo $x_{k-1}\leq c_k\leq x_k$, für jede Partition $P$von $[a,b]$deren Teilintervalle eine Länge kleiner als haben $\delta$. Wir schreiben $$RS\int_a^b f(x)d\phi(x) = A.$$

FTC für Riemann Stieltjes Integrale. Wenn$f$ist stetig und$\phi$ist differenzierbar, mit$\phi'$Riemann integrierbar auf$[a,b]$, Dann

$$RS\int_a^b f(x)\,d\phi(x) = R\int_a^b f(x)\phi'(x)\,dx.$$

Satz. Wenn$f$Und$\phi$sind beschränkte Funktionen ohne gemeinsame Diskontinuitäten$[a,b]$, und das Riemann-Stieltjes-Integral von$f$gegenüber$\phi$existiert, dann das Riemann-Stieltjes-Integral von$\phi$gegenüber$f$existiert, und

$$RS\int_a^b\phi(x)\,df(x) = f(b)\phi(b) - f(a)\phi(a) - RS\int_a^bf(x)\,d\phi(x).$$

FTC Teil zwei für Riemann-Stieltjes Integrale. Wenn$f$ist durchgehend an$[a,b]$Und$\phi$ist monoton steigend$[a,b]$, Dann$f$ist bezüglich Riemann-Stieltjes integrierbar$\phi$. Wenn wir definieren$F$An$[a,b]$von

$$F(x) = RS\int_a^x f(t)d\phi(t),$$ Dann $F$ist an jedem Punkt wo stetig $\phi$ist kontinuierlich; Und $F$an jedem Punkt wo differenzierbar ist $\phi$(fast überall) differenzierbar ist und an solchen Stellen $F' = f\phi'$.

Konvergenzsatz für Riemann-Stieltjes-Integrale. Wenn$\{f_k\}$ist eine Folge von Funktionen, die gleichmäßig gegen konvergieren$f$An$[a,b]$Und$\phi$ist monoton ansteigend$[a,b]$, dann ist die$f_k$ist bezüglich Riemann-Stieltjes integrierbar$\phi$für jede$k$,$f$ist bezüglich Riemann-Stieltjes integrierbar$\phi$, Und

$$RS\int_a^bf(x)\,d\phi(x) = \lim RS\int_a^b f_k(x)\,d\phi(x).$$

Lebesgue-Integral

FTC für das Lebesgue-Integral. Wenn$F$differenzierbar ist, und die Ableitung$F'$angebunden ist$[a,b]$, Dann$F'$ist nach Lebesgue integrierbar$[a,b]$Und

$$\int_{[a,x]}F'\,d\mu = F(x)-F(a)$$ für $x$In $[a,b]$.

Lebesgues FTC. Wenn$F$ist absolut durchgehend an$[a,b]$, Dann$F'$ist Lebesgue integrierbar und

$$\int_{[a,x]} F'\,d\mu = F(x)- F(a)$$ für $x$In $[a,b]$.

FTC Teil 2 für das Lebesgue-Integral. Wenn$f$ist nach Lebesgue integrierbar$[a,b]$, und wir definieren$F$An$[a,b]$von$F(x) = \int_{[a,x]}f\,d\mu$, Dann$F$ist absolut durchgehend an$[a,b]$Und$F'=f$fast überall auf$[a,b]$.

Satz über dominierte Konvergenz. Wenn$\{f_k\}$ist eine Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen, die fast überall punktweise zu konvergieren$f$An$[a,b]$, Und$g$ist eine Lebesgue-integrierbare Funktion, so dass$|f_k|\leq g$An$[a,b]$, Dann$f$ist nach Lebesgue integrierbar$[a,b]$Und

$$\int_{[a,b]}f\,d\mu = \lim \int_{[a,b]} f_k\,d\mu.$$

Henstock-Kurzweil-Integral

Eine Funktion$\delta\colon [a,b]\to (0,\infty)$wird als Messgerät bezeichnet$[a,b]$. Eine getaggte Partition von$[a,b]$ist eine endliche Sammlung von spitzen Intervallen$(c_k,[x_{k-1},x_k])$, Wo$x_{k-1}\leq c_k\leq x_k$,$a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_n=b$. Wir sagen eine markierte Partition von$[a,b]$Ist$\delta$gut wenn$c_k-\delta(c_k) \lt x_{k-1}\leq c_k \leq x_k \lt c_k+\delta(c_k)$.

Eine Funktion$f$An$[a,b]$soll über Henstock-Kurzweil integrierbar sein$[a,b]$wenn es eine Zahl gibt$A$so dass für jeden$\epsilon\gt 0$Es gibt eine positive Funktion$\delta_{\epsilon}\colon [a,b]\to (0,\infty)$so dass für alle$\delta_{\epsilon}$-feine Partition auf$[a,b]$mit$c_{k}-\delta_{\epsilon}(c_k) \lt x_{k-1}\leq c_k \leq x_{k}\lt c_k+\delta_{\epsilon}(c_k)$, wir haben:

$$\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)(x_k-x_{k-1}) - A\right|\lt \epsilon.$$ In diesem Fall schreiben wir $HK\int_a^b f(x)\,dx = A$.

FTC für das Henstock-Kurzweil-Integral. Wenn$F$ist durchgehend an$[a,b]$Und$F$differenzierbar ist$[a,b]$mit höchstens einer zählbaren Anzahl von Ausnahmepunkten$F'$ist über Henstock-Kurzweil integrierbar$[a,b]$, Und

$$HK\int_a^x F'(t)\,dt = F(x) - F(a)$$ für jede $x$In $[a,b]$.

FTC Teil zwei für das Henstock-Kurzweil-Integral. Wenn$f$ist über Henstock-Kurtzweil integrierbar$[a,b]$, und wir definieren$F$von$F(x) = HK\int_a^x f(t)\,dt$, Dann$F$ist durchgehend an$[a,b]$,$F'=f$fast überall und$f$ist Lebesgue-messbar.

Dominierte Konvergenz für das Henstock-Kurzweil-Integral. Wenn$\{f_k\}$ist eine Folge von Henstock-Kurzweil-integrierbaren Funktionen, die punktweise gegen konvergieren$f$An$[a,b]$, und es gibt Henstock-Kurzweil integrierbare Funktionen$\phi$Und$\psi$so dass$\phi\leq f_k\leq \psi$für alle$k$, Dann$f$ist integrierbar und Henstock-Kurzweil

$$HK\int_a^b f(x)\,dx = \lim HK\int_a^b f_k(x)\,dx.$$

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Die obigen Integrale werden in aufsteigender Reihenfolge der Stärke im folgenden Sinne angegeben: wenn$f$ist eine Funktion an$[a,b]$, Dann:

$$\begin{align*} f\text{ is Cauchy integrable on }[a,b] &\Longrightarrow f\text{ is Riemann integrable on }[a,b]\\ &\Longrightarrow f\text{ is Lebesgue integrable on }[a,b]\\ &\Longrightarrow f\text{ is Henstock-Kurzweil integrable on }[a,b] \end{align*}$$ und keine der Implikationen sind reversibel. Das Riemann-Stieltjes-Integral (und seine Variante, das Lebesgue-Stieltjes-Integral) ist nicht in der Implikationskette enthalten, da die Integrierbarkeit dort sowohl von der Funktion abhängt $f$und die Funktion $\phi$.

Ich habe nur eine Teilantwort.

Versuchen Sie zunächst, einige Figuren zu zeichnen, die zu diesen Theoremen gehören könnten, dann wirken sie gar nicht so mysteriös.

Wenn eine Funktion$f:[a,b] \to \mathbf R$Riemann-integrierbar ist, dann ist sie Lebesgue-integrierbar und die Integrale fallen zusammen.

Wenn$f:[a,b] \to \mathbf R$ist dann begrenzt$f$ist Riemann integrierbar genau dann, wenn die Punkte wo$f$ist diskontinuierlich an$(a,b)$ist eine Nullmenge .

Umgekehrt, wenn wir die zweite Gleichung betrachten, erhalten wir nach dem Lebesgueschen Differenzierungssatz$f(x)$"fast überall".

Damit ist Ihre letzte Frage beantwortet.

Ein weiterer Kommentar ist, dass es für einige Probleme in Ordnung ist, sich ein Integral als Fläche unter der Kurve vorzustellen, aber für eine "fortgeschrittenere" Analyse ist dies nicht so geeignet. Ich betrachte sie als lineare Operatoren.

Die folgende Antwort mag etwas kompliziert sein, aber sie stellt einen ziemlich intuitiven Beweis des Lebesgue-Differenzierungssatzes dar, der auf der Eigenschaft des schwachen Typs (1,1) basiert, die vom Hardy-Littlewood-Maximaloperator erfüllt wird. Genauer gesagt ist das folgende Ergebnis als Differenzierungssatz von Lebesgue bekannt:

Differenzierungssatz von Lebesgue : Für jede lokal integrierbare Funktion$f$An$\mathbb{R}^n$wir haben

$\lim_{r\to 0} \frac{1}{\left|B(x,r)\right|} \int_{B(x,r)} f(y)dy = f(x)$

für fast alle$x\in \mathbb{R}^n$. Folglich haben wir$\left|f\right|\leq {\cal M}(f)$ä

Die Idee ist, dass wir den Operator kontrollieren können$T^{*}$durch die Regel definiert$T^{*}(f)=\sup_{r>0} \left|\int_{B(x,r)} f(y)dy\right|$durch einen Operator mit schönen Beschränktheitseigenschaften (z. B. den Hardy-Littlewood-Maximaloperator), dann können wir den obigen Differenzierungssatz beweisen. Genauer beweisen wir den obigen Ableitungssatz für stetige Funktionen$f$mit kompaktem Träger (das ist einfach), und wir verwenden dann die Dichte des Raums kompakt unterstützter stetiger Funktionen in$L^1$.

Intuitiv besteht der „Trick“ darin, dass die Beschränktheitseigenschaften des Operators$T^{*}$implizieren eine bestimmte "beschränkte Schwingungsbedingung", die es uns erlaubt, das Ergebnis für alle lokal integrierbaren Funktionen zu beweisen, indem wir die Gültigkeit des Ergebnisses für kompakt unterstützte stetige Funktionen verwenden. Die genauere Erklärung findet sich in Loukas Grafakos' "Classical and Modern Fourier Analysis", Kapitel 2, Section 1, Theorem 2.1.14, Seite 86.

Dieser Beweis des Differenzierungssatzes gefällt mir sehr gut, weil er die Eigenschaft des schwachen Typs (1,1) des Hardy-Littlewood-Maximaloperators verwendet und auf einem Ergebnis basiert, das verschiedene Anwendungen hat (einschließlich der Lösung des Dirichlet-Problems in der oberen Hälfte Raum). Schließlich liefert es reichlich Beweise für die Bedeutung des Hardy-Littlewood-Maximaloperators in der harmonischen Analyse.