Erklärung des Satzes von Green für Studenten

Hier ist ein intuitiver Weg, um den Satz von Green zu entdecken. Dies ähnelt der Art und Weise, wie Physiker den Satz von Green ableiten. (Mein Ziel ist es hier, Intuition zu liefern, keinen strengen Beweis.)

Lassen$D$eine Region sein in$\mathbb R^2$dessen Grenze eine glatte geschlossene Kurve ist$C$. Ich gehe davon aus$C$gegen den Uhrzeigersinn orientiert ist: Stellen Sie sich nun vor, Sie zerhacken$D$in winzige Stücke, so dass jedes winzige Stück ein Parallelogramm ist (oder zumindest jedes winzige Stück ungefähr ein Parallelogramm ist). Das folgende Bild wird am besten im Vollbildmodus angezeigt:

Lassen$C_i$sei die Grenze der$i$tes kleines Parallelogramm. Ich nehme jeweils an$C_i$gegen den Uhrzeigersinn orientiert ist. Beachten Sie, dass wenn$f$liegt ein glattes Vektorfeld vor$\mathbb R^2$Dann

$$\sum_i \int_{C_i} f \cdot dr = \tag{1} \int_C f \cdot dr.$$ Dies liegt daran, dass die Summe auf der linken Seite "Teleskope" ist. Alles in der Mitte hebt sich auf und wir haben nur noch Randbedingungen. Dieser schöne Schritt in der Ableitung erinnert an die Teleskopsumme, die erscheint, wenn der Fundamentalsatz der Analysis in der Einzelvariablenrechnung abgeleitet wird.

Um unsere Herleitung des Satzes von Green zu vervollständigen, müssen wir das Integral von berechnen$f$um die Grenze eines winzigen Parallelogramms. Unten ist ein Bild eines einzelnen winzigen Parallelogramms, das auf einem Punkt basiert$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \in \mathbb R^2$und die von Vektoren aufgespannt wird$v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$Und$w = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} \in \mathbb R^2$. Die Grenze des Parallelogramms ist gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet:

Da dies ein sehr kleines Parallelogramm ist, mache ich die Annäherung an das Integral von$f$entlang Kante 1 ist ungefähr$f(x) \cdot v$, das Integral von$f$entlang Kante 2 ist ungefähr$f(x + v) \cdot w$, das Integral von$f$entlang Kante 3 ist ungefähr$f(x + w) \cdot (-v)$, und das Integral von$f$entlang Kante 4 ist ungefähr$f(x) \cdot (-w)$. Wenn wir diese vier Terme summieren und Kante 1 mit Kante 3 und Kante 2 mit Kante 4 paaren, finden wir das Integral von$f$entlang der Grenze dieses Parallelogramms ist ungefähr

$$\begin{align*} &\quad \langle f(x+v) - f(x), w \rangle - \langle f(x + w) - f(x), v \rangle \\ \approx & \quad \langle f'(x) v, w \rangle - \langle f'(x) w, v \rangle \\ \tag{2} &= \left(\frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} \right) \underbrace{(v_1 w_2 - v_2 w_1)}_{\text{Area of parallelogram}}. \end{align*}$$ Hier$f_1$Und$f_2$sind die Komponentenfunktionen von$f$, Und$f'(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} \\ \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_2} \end{bmatrix}$ist die Jacobi-Matrix von$f$bei$x$.

Der letzte Schritt besteht darin, Formel (2) auf die Summe links in Gleichung (1) anzuwenden. Lassen$\Delta A_i$sei der Bereich der$i$th kleines Parallelogramm, und lassen$x^i \in \mathbb R^2$der Punkt sein, wo die$i$ten winzigen Parallelogramm basiert. (Der$i$hier ist ein hochgestellter Index, kein Exponent.) Die Kombination der Formeln (1) und (2) zeigt dies

$$\begin{align} \int_C f \cdot dr &\approx \sum_i \left(\frac{\partial f_2(x^i)}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1(x^i)}{\partial x_2} \right) \Delta A_i \\ &\approx \int_D \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} \, dA. \end{align}$$ Wir haben die Theorem-Formel von Green entdeckt. Es erscheint plausibel, dass wir die Annäherung durch Zerhacken beliebig genau machen können$D$in ausreichend kleine Stücke. Damit schließen wir das $$\int_C f \cdot dr = \int_D \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} \, dA$$

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Kommentare:

• Eine Möglichkeit zu hacken$D$in winzige Parallelogramme soll mit einem rechteckigen Bereich beginnen$R$das in winzige Rechtecke zerhackt wird und dann glatt morpht$R$auf zu$D$. Tatsächlich ist das obige Bild so entstanden. Wenn$D$ist dann nicht diffeomorph zu einem rechteckigen Bereich$D$kann zumindest in einfachere Stücke zerlegt werden, von denen jedes zu einem rechteckigen Bereich diffeomorph ist.
• In Gleichung (2) oben habe ich die Formel verwendet$v_1 w_2 - v_2 w_1$für die Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms$v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$Und$w = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}$. Diese Formel wird hier hergeleitet .
• Bei der Ableitung von Gleichung (2) habe ich die Taylor-Näherung erster Ordnung verwendet $$\tag{3} f(x + v) - f(x) \approx f'(x) v.$$ Die Annäherung ist gut, wenn$v$ist klein. Die Jacobi-Matrix$f'(x)$wird auch als Ableitung von bezeichnet$f$bei$x$. Die Näherung (3), die Terence Tao als "Newtonsche Näherung" bezeichnet, ist die Schlüsselidee der Analysis. Es ist im Wesentlichen die Definition von$f'(x)$. Die grundlegende Strategie der Analysis besteht darin, eine nichtlineare Funktion zu nehmen$f$(schwierig) und lokal durch eine lineare Funktion approximieren (einfach). Beim Herleiten der Formeln der Infinitesimalrechnung stellen wir immer fest, dass wir im entscheidenden Moment die Näherung (3) verwenden.
• Leute leiten Greens Theorem oft mit einem ähnlichen Argument wo ab$D$wird in kleine Rechtecke zerhackt. Siehe zum Beispiel Abschnitt 3-6 von Band 2 der Feynman Lectures on Physics oder Kapitel 3 (S. 76) von Div, Grad, Curl and All That. Rechtecke können sich jedoch nicht der Grenze von annähern$D$genau, daher bemerken Autoren normalerweise (ohne Einzelheiten zu nennen), dass eine ähnliche Berechnung für winzige Dreiecke statt für winzige Rechtecke angegeben werden kann. Ich finde es unelegant zu hacken$D$in Dreiecke und Rechtecke. Der natürliche Weg, eine Mannigfaltigkeit zu zerstückeln, besteht darin, sie in Parallelogramme oder Parallelepipede zu zerlegen . Dieser Ansatz lässt sich gut verallgemeinern, um den Satz von Stokes (sogar den verallgemeinerten Satz von Stokes) und den Divergenzsatz abzuleiten. Ich habe hier eine ähnliche Herleitung des Satzes von Stokes gegeben .

Ich bin ein großer Fan von Intuition beim Unterrichten der Vektorrechnung. Ich erkläre es meinen Schülern so:

Zeichne für das Fluss-/Divergenz-Formular mit einem Filzstift einen Kreis auf deinen Tresen und gieße dann ein Glas Wasser auf den Tresen innerhalb des Kreises. Der Satz von Green sagt das Offensichtliche: Die Wassermenge, die den gezeichneten Kreis durchquert, entspricht der Wassermenge, die innerhalb des Kreises herausspritzt, wenn Sie das Wasser auf die Theke gießen.

Stellen Sie sich für die Zirkulations-/Wellenform vor, einen Tropfen Tinte auf den Rand eines ablaufenden Waschbeckens zu geben. Der Tropfen wird um den Rand des Waschbeckens nachlaufen, wenn das Waschbecken abläuft, und wieder sagt Greens Theorem das Offensichtliche: Je schneller das Waschbecken abläuft, desto länger / gemischter wird der Tintenklecks (dh die Menge der Zirkulation um die Kante des Abflusses hängt davon ab, wie schnell sich der Abfluss dreht)

Wenn Sie eine Motivation brauchen, können Sie sie dem Planimeter vorstellen .

Es ist ein wunderbares kleines Gerät, das verwendet wird, um die Fläche einer Figur zu messen, nach der Wikipedia-Seite,

Der Amsler-Typ (polar) besteht aus einem Zweistangen-Gestänge. Am Ende eines Links befindet sich ein Zeiger, der verwendet wird, um die Grenze der zu messenden Form zu verfolgen. Das andere Ende des Gestänges schwenkt frei auf einem Gewicht, das es daran hindert, sich zu bewegen. In der Nähe der Verbindungsstelle der beiden Glieder befindet sich ein Messrad mit kalibriertem Durchmesser, mit einer Skala zur Anzeige der Feindrehung und einem Schneckengetriebe für eine zusätzliche Umdrehungszählerskala. Wenn der Bereichsumriss nachgezeichnet wird, rollt dieses Rad auf der Oberfläche der Zeichnung. Der Bediener stellt das Rad ein und dreht den Zähler auf Null, wenn dies nicht bereits der Fall ist, und verfolgt dann den Zeiger um den Umfang der Form. Wenn die Abtastung abgeschlossen ist, zeigen die Skalen am Messrad die Fläche der Form an.

„Wie funktioniert das?!“, werden Sie sich vielleicht fragen. Das ist, wenn Sie Greens Theorem einführen !