∫10xr−11+xsdx=∑∞n=0(−1)nr+ns∫01xr−11+xsdx=∑n=0∞(−1)nr+ns\int_0^1\large\frac{x^{ r-1}}{1+x^s}\,dx=\sum_{n=0}^\infty\large\frac{(-1)^n}{r+ns} für jedes r,s>0r ,s>0r,s > 0 [geschlossen]

HINWEIS:

Beginnen Sie mit der Identität

$$\frac1{1+x^s}=\sum_{n\ge0}(-1)^nx^{ns}$$

(was gilt für$|x|<1$) und begründen Sie, warum Sie die Reihenfolge der Integration und Summation vertauschen können.

$$\frac{x^{r-1}}{1+x^s} = x^{r-1}\cdot\frac 1 {1 - (-x^s)} = x^{r-1} \cdot\left( 1 - x^s + x^{2s} - x^{3s} + \cdots \right)$$ Die Reihe konvergiert seitdem gegen den Ausdruck auf der linken Seite$0<x<1.$

$$\int_0^1 x^{r-1} x^{ns} \, dx = \frac 1 {ns+r}$$

$$0 \le x^{r-1}\big(1 - x^s\big) \le x^{r-1} \big(1 - x^s + x^{2s}-\cdots + (-1)^n x^{ns}\big) \le x^{r-1}$$

$$\int_0^1 x^{r-1} \,dx < +\infty.$$ Die Funktion, die in der letzten Zeile oben integriert wird, kann als dominierende Funktion dienen, um zu zeigen, dass der Satz der dominierten Konvergenz gilt.