Beweis, dass ein Integral gleich ∑∞k=11(p+k)2∑k=1∞1(p+k)2\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(p+k) ist ^2} für p>0p>0p>0.

Ich lerne für eine Eignungsprüfung und stecke bei diesem Problem aus Bass' "Real Analysis for Graduate Students" (Übung 7.14) fest. Es fordert uns auf, das zu beweisen

∑ k = 1 ∞ 1 ( P + k ) 2 = − ∫ 0 1 X P 1 − X Protokoll ⁡ ( X ) D X
für P > 0 .

Beachten Sie, dass diese Übung aus dem Kapitel stammt, das den Satz von der monotonen Konvergenz, das Lemma von Fatou und den Satz von der dominierten Konvergenz vorstellt. Mein Problem ist wahrscheinlich, dass ich nicht sofort sehe, wie man einen dieser Theoreme auf dieses spezielle Problem anwendet. Ich habe versucht, mit Feynmans Trick- und Log-Serie herumzuspielen, aber keine nennenswerten Fortschritte gemacht. Ich stecke hier schon eine Weile fest, also bin ich für jede Hilfe dankbar.

Vielleicht könnten Sie die RHS in ein Integral einer unendlichen Summe schreiben und dann die vertauschen ∫ Und ∑ nach den Konvergenzsätzen.
@xbh Richtig, eines der Dinge, mit denen ich herumgespielt habe, war das Schreiben des Log(x)-Terms in Serienform. Ich habe versucht, genau das zu tun, was Sie erwähnt haben, aber ich konnte keinen geeigneten Integranden erhalten.
Probieren Sie die Gamma-Funktion aus.

Antworten (2)

Erweitern Sie zunächst 1 / ( 1 − X ) in seine geometrische Reihe zu bekommen

− ∫ 0 1 ∑ k ≥ 0 X M X P Protokoll ⁡ X D X
Betrachten Sie nun die Teilsummen
S N = ∑ k = 0 N X k = 1 − X N + 1 1 − X
Das können wir leicht zeigen S N ≤ S N + 1 , als S N + 1 − S N = X N + 1 ≥ 0 als X ∈ [ 0 , 1 ] . Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz gilt:
− ∫ 0 1 ∑ k ≥ 0 X k X P Protokoll ⁡ X D X = − ∫ 0 1 lim N → ∞ ∑ k = 0 N X k X P Protokoll ⁡ X D X (1) = − lim N → ∞ ∫ 0 1 ∑ k = 0 N X k X P Protokoll ⁡ X D X = − lim N → ∞ ∑ k = 0 N ∫ 0 1 X k X P Protokoll ⁡ X D X = − ∑ k ≥ 0 ∫ 0 1 X k X P Protokoll ⁡ X D X (2) = ∑ k ≥ 0 1 ( k + P + 1 ) 2 = ∑ k ≥ 1 1 ( k + P ) 2
Wo der Satz von der monotonen Konvergenz verwendet wurde ( 1 ) und Integration von Teilen in ( 2 ) .

Vielen Dank für den Hinweis, wo der Satz der monotonen Konvergenz verwendet wurde. Genau so habe ich es gerade selbst gemacht.

Naiv vorgehen,

∫ 0 1 X P 1 − X Protokoll ⁡ ( X ) D X = ∫ 0 1 X P Protokoll ⁡ ( X ) ∑ N = 0 ∞ X N D X = ∑ N = 0 ∞ ∫ 0 1 X P + N Protokoll ⁡ ( X ) D X = ∑ N = 0 ∞ X N + P + 1 ( ( N + P + 1 ) ln ⁡ ( X ) − 1 ( N + P + 1 ) 2 | 0 1 (laut Wolfy) = ∑ N = 0 ∞ 1 ( N + P + 1 ) 2 ( X N + P + 1 ( ( N + P + 1 ) ln ⁡ ( X ) − 1 ) | 0 1 = ∑ N = 0 ∞ − 1 ( N + P + 1 ) 2 = ∑ N = 1 ∞ − 1 ( N + P ) 2

Sieht für mich OK aus.

Lassen T = − Protokoll ⁡ X , dann ist das Integral tatsächlich − Γ ( 2 ) / ( N + P + 1 ) 2 .
Natürlich! Die geometrische Reihe weil X ist in ( 0 , 1 ) . Ich war so entschlossen, das Protokoll als Serie zu schreiben, dass ich das nicht gesehen habe. Danke.
Beweis, dass ein Integral gleich ∑∞k=11(p+k)2∑k=1∞1(p+k)2\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(p+k) ist ^2} für p>0p>0p>0.
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