Ich glaube nicht, dass das, was es will, wahr ist, ∬Brf(x,y)dxdy=0∬Brf(x,y)dxdy=0\iint_{B_r}f(x,y)dxdy=0 für alle rrr bedeutet f =0f=0f=0

Ich wurde gebeten, das zu zeigen, wenn (wo B R ( A ) = B R = { ( X , j ) | X 2 + j 2 < R 2 } - dh offene Kugel bei a), um zu beweisen (dass, wenn f stetig ist):

∬ B R F ( X , j ) D X D j = 0
für alle R

Das F ( X , j ) = 0 stets.

Ok wenn F ( X , j ) = 0 dann folgt das Ergebnis trivial, also spielt das iff-Ding keine Rolle.

Aber mit dem nächsten Teil bin ich nicht einverstanden.

∬ B R 1 − B R 2 F ( X , j ) D X D j = ∬ B R 1 F ( X , j ) D X D j − ∬ B R 2 F ( X , j ) D X D j Wo 0 < R 1 < R 2

Durch die Kontinuität von F die Integrale sind stetig (begrenztes Intervall, Ergebnis ist begrenzt und cont)

Denken Sie jetzt darüber nach, wir wissen nur, dass über einer Scheibenform das Integral 0 ist, jetzt wissen wir, dass es über einer Unterlegscheibenform 0 ist, schön und gut.

Stellen Sie sich nun eine Funktion vor, die radial auf und ab geht, wie eine Art Cupcake-Förmchen, gekräuselt. Wenn es die gleiche Anzahl von "Höhen" wie "Tiefen" gibt, ist das Integral um Null, aber die Cupcake-Hülle ist nicht flach!

Also habe ich etwas übersehen oder ist die Frage falsch?

ist es nicht für alle A Auch ? Weil wenn A = 0 fest ist, da gebe ich dir recht
Sind Sie sicher, dass die zu berücksichtigenden Kugeln alle zentriert sind? 0 ?
@ YannHamdaoui das ist ein wirklich guter Punkt, wenn a nicht behoben ist, wie würde der Beweis gehen? (Ich bin über diesen Widerspruch gestolpert und habe versucht, einen Weg zu finden)
Wenn die Eier alle sind 0 -zentriert, dann wäre ein einfaches Gegenbeispiel F ( X , j ) = X .
Die Bälle sind nicht alle zentriert, ich bin mir nicht sicher, was ich jetzt tun soll.
@HenningMakholm wollte ich gerade setzen F ( X , j ) = j !
@HenningMakholm soll ich eine neue Frage stellen oder diese bearbeiten? Ich bin mir nicht sicher, wie ich mit dem Beweis fortfahren soll (es ist einfach in einer Dimension, weil es 2 Richtungen gibt, der Schnittpunkt von Intervallen ist ein Intervall! Ich bin mir nicht sicher, was ich hier tun soll, Bälle sind ziemlich einfach, aber ohne Markierungsschema könnte ich es tun Ich bin mir nicht sicher, ob ich Recht hatte.
Bist du sicher, dass es " F ( X , j ) = 0 immer" und nicht" F ( X , j ) fast überall"?
@Mark: Das war eigentlich das, was ich mir vorgestellt habe. Aber mein innerer Mach-die-Mathe-einfacher-Schaltkreis hat das außer Kraft gesetzt und gesagt, wenn ich nur eine Variable erwähne, lass es die erste sein! :-)
@git: F wird stetig angenommen, das spielt also keine Rolle.
@HenningMakholm Ich hatte nie vor, mein Cupcake-Ding zu definieren … ich wollte das einfach rausbringen! Ich bekam Angst, als ich darüber nachdachte, wie ich es beweisen könnte, was zu etwas führte, das widersprach. Natürlich die Person mit F ( X , j ) = X gewinnt, müssen wir auf die alphabetische Reihenfolge zurückgreifen, da x<y selbst wenn Sie f(a,b)=a verwendet haben, es immer noch gilt - ich hole meinen Mantel.

Antworten (2)

Wenn die Kugeln nicht zentriert sind (siehe Kommentare), dann:

Wenn F nicht null ist, existiert A so dass F ( A ) ≠ 0 . Ohne an Allgemeingültigkeit zu verlieren, werden wir annehmen F ( A ) > 0 . Durch Kontinuität können Sie finden ϵ > 0 so dass ∀ X ∈ B A ( ϵ ) , F ( X ) > 0 . Dann ∫ B A ϵ F > 0 . Wenn also das Integral für alle null ist ( A , ϵ ) Dann F muss null sein.

Wenn der Ball auf einem festen zentriert werden muss A , dann hast du Recht, die Aussage ist falsch.

Natürlich! Das nicht verschwindende Lemma! Ich habe sogar Bälle verwendet, um das zu beweisen (sie waren nur nicht sehr rund: P), danke.

Ich denke, es muss eine verlorene Annahme geben, dass Ihr Integral sein soll 0 für jeden Ball, der irgendwo zentriert ist, nicht nur für solche, die auf zentriert sind 0 .

Mit deiner Vermutung kannst du das zumindest beweisen F ( 0 ) = 0 . Nämlich wenn F ( 0 ) = C > 0 , dann weil F kontinuierlich ist, gibt es einen Ball B R ( 0 ) darin F ist immer mind C / 2 . Und dann ist das Integral über diesen Ball eindeutig ≥ C R 2 π 2 .

Wenn alle Bälle berücksichtigt werden, kann dieses Argument für andere Zentren wiederholt werden.

Ich glaube nicht, dass das, was es will, wahr ist, ∬Brf(x,y)dxdy=0∬Brf(x,y)dxdy=0\iint_{B_r}f(x,y)dxdy=0 für alle rrr bedeutet f =0f=0f=0
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