Wie finde ich die Integrationsgrenzen und das Integral für ein Dreifachintegral?

Question

Wie finde ich die Integrationsgrenzen und das Integral für ein Dreifachintegral?

Mathematik
mehrfach ganzzahlig
bestimmte Integrale
Multivariable Infinitesimalrechnung

Si Zufällig

Also werde ich meine Sachen durch sphärische Koordinaten mit den folgenden Gleichungen ersetzen:

X^{2} + j^{2} + z^{2} = ρ C Ö S^{2} (θ) + S ich N^{2} (θ) S ich N^{2} (ϕ) + C Ö S^{2} (ϕ)

$x^2+y^2+z^2\:=\:\rho \:cos^2\left(\theta \right)+sin^2\left(\theta \right)sin^2\left(\phi \right)+cos^2\left(\phi \right)$ Und wenn ich vereinfache:

ρ^{2} = X^{2} + j^{2} + z^{2}, ρ^{2} = 25, ρ = 5

$\rho ^2=x^2+y^2+z^2,\:\rho ^2=25,\:\rho \:=5$

Da es ein Ball ist, denke ich:

0 \leq θ \leq 2 π

$0\le \theta \le 2\pi$

Und dann

z = \frac{5}{2}

$z = \frac{5}{2}$

So:

(5) C Ö S ϕ = \frac{5}{2}, ϕ = \frac{π}{3}

$(5)cos{\phi} = \frac{5}{2} , \phi = \frac{\pi}{3}$

Und damit lautet mein Integral:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \int_{\frac{1}{C Ö S (ϕ)}}^{5} ρ C Ö S^{2} (θ) + S ich N^{2} (θ) S ich N^{2} (ϕ) + C Ö S^{2} (ϕ) D ρ D ϕ D θ

$\int _{0\:}^{2\pi \:}\:\int _{0\:}^{\frac{\pi }{3}\:}\:\int _{\frac{1}{cos\left(\phi \right)}}^{\:5}\:\:\:\rho \:\:cos^2\left(\theta \:\right)+sin^2\left(\theta \:\right)sin^2\left(\phi \:\right)+cos^2\left(\phi \:\right)d\rho \:d\phi \:d\theta \:$

Aber das fühlt sich überhaupt nicht richtig an. Was ist mein Problem?

Antworten (1)

Wie finde ich die Integrationsgrenzen und das Integral für ein Dreifachintegral?

Ted Schifrin · Answer 1

Die Integrationsgrenzen sind fast korrekt, aber Ihr Integrand ist falsch (und es fehlen Klammern). Du solltest haben

ρ \cos ϕ \cdot ρ^{- 3} \cdot \underset{D v}{\underset{⏟}{ρ^{2} Sünde ϕ D ρ D ϕ D θ}} .

$\rho\cos\phi\cdot \rho^{-3} \cdot \underbrace{\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta}_{dV}.$ Nun, die untere Grenze für

ρ

$\rho$ ist falsch, da Sie die Gleichung haben sollten

ρ \cos ϕ = 5 / 2

$\rho\cos\phi = 5/2$ , So

ρ = \frac{5}{2} \sec ϕ

$\rho=\frac52\sec\phi$ . (Denken Sie darüber nach, warum das, was Sie getan haben, keinen Sinn ergibt.)

Wie finde ich die Integrationsgrenzen und das Integral für ein Dreifachintegral?

Si Zufällig

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Ted Schifrin

Si Zufällig

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