Warum ist die Antwort für das Doppelintegral Null?

Question

Warum ist die Antwort für das Doppelintegral Null?

Mathematik
mehrfach ganzzahlig
bestimmte Integrale
Multivariable Infinitesimalrechnung

Umesh Shankar

Ich versuche zu bewerten

\iint_{R} X + j D A

$\iint_{R} x+y \:d A$ , Wo

R

$R$ ist die Region, die durch die Scheitelpunkte gebildet wird

(0, 0), (5, 0), (\frac{5}{2}, \frac{5}{2}) Und (\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})

$(0,0),(5,0),\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right) \text { and }\left(\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\right)$ .

Mein Versuch: Hier ist das Bild der Region, die zwei dreieckige Regionen hat.

Lassen Sie das obere Dreieck ist $R1$ und unteres Dreieck ist $R2$

Wir haben

\iint_{R} (X + j) D A = \iint_{R 1} (X + j) D A + \iint_{R 2} (X + j) D A

$\iint _{R}(x+y)dA=\iint_{R1}(x+y)dA+\iint_{R2}(x+y)dA$

Jetzt haben wir:

\iint_{R 1} (X + j) D A = \int_{X = 0}^{5} \int_{j = X}^{5 - X} (X + j) D j D X = \frac{- 125}{6}

$\iint_{R1}(x+y)dA=\int_{x=0}^{5}\int_{y=x}^{5-x}(x+y)dydx=\frac{-125}{6}$

Auch

\iint_{R 2} (X + j) D A = \int_{X = 0}^{5} \int_{j = - X}^{X - 5} (X + j) D j D X = \frac{125}{6}

$\iint_{R2}(x+y)dA=\int_{x=0}^{5}\int_{y=-x}^{x-5}(x+y)dydx=\frac{125}{6}$

Wenn ich beide addiere, bekomme ich null. Aber das ist nicht die Antwort. Was ist falsch an diesem Ansatz?

Robert Ufer

Ihre Integrationsgrenzen sind falsch. Auch, wenn Sie sich integrieren

d y

$dy$ Zuerst möchten Sie die Region in das linke und das rechte Dreieck aufteilen, nicht in das obere und das untere Dreieck.

Aniruddha Deshmukh

Eigentlich sollten die Grenzen (z

R_{1}

$R_1$ ),

\int_{x = 0}^{\frac{5}{2}} \int_{y = 0}^{x} + \int_{x = \frac{5}{2}}^{5} \int_{y = 0}^{5 - x}

$\int\limits_{x = 0}^{\frac{5}{2}} \int\limits_{y = 0}^{x} + \int\limits_{x = \frac{5}{2}}^{5} \int\limits_{y = 0}^{5 - x}$ .

Diese Seite ist zu einer Müllhalde geworden.

Wenn Sie die ziehen

3

$3$ D Bild sehen Sie, dass Sie das Volumen eines Prismas berechnen, dessen Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck ist, und die Fläche ist einfach

\frac{1}{2} \times l \times w \times H = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \frac{5}{2} \times \sqrt{2} \frac{5}{2} \times 5 = \frac{125}{4} .

$\frac12\times l\times w\times h=\frac12\times\sqrt{2}\frac52\times\sqrt{2}\frac52\times5=\frac{125}{4}.$

Antworten (1)

Warum ist die Antwort für das Doppelintegral Null?

Ihre Integrationsgrenzen sind falsch. Auch, wenn Sie sich integrieren $dy$ Zuerst möchten Sie die Region in das linke und das rechte Dreieck aufteilen, nicht in das obere und das untere Dreieck.
Eigentlich sollten die Grenzen (z $R_1$ ), $\int\limits_{x = 0}^{\frac{5}{2}} \int\limits_{y = 0}^{x} + \int\limits_{x = \frac{5}{2}}^{5} \int\limits_{y = 0}^{5 - x}$ .
Wenn Sie die ziehen $3$ D Bild sehen Sie, dass Sie das Volumen eines Prismas berechnen, dessen Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck ist, und die Fläche ist einfach $\frac{1}{2} \times l \times w \times H = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \frac{5}{2} \times \sqrt{2} \frac{5}{2} \times 5 = \frac{125}{4} .$ $\frac12\times l\times w\times h=\frac12\times\sqrt{2}\frac52\times\sqrt{2}\frac52\times5=\frac{125}{4}.$

Mathe-Liebhaber · Answer 1

Sie integrieren zunächst über den durch Linien begrenzten Bereich $y = x$ Und $x + y = 5$ über der x-Achse. Wenn Sie ein Integral aufstellen, müssen Sie wrt integrieren $x$ Erste. Das Integral sollte also sein

$\displaystyle \iint_{R1}(x+y)dA=\int_{y=0}^{5/2}\int_{x=y}^{5-y}(x+y) \ dx \ dy = \frac{125}{6}$

Ähnlich für den Bereich unterhalb der x-Achse,

$\displaystyle \iint_{R2}(x+y)dA=\int_{y= - 5/2}^{0}\int_{x=-y}^{5+y}(x+y) \ dx \ dy = \frac{125}{12}$

Beachten Sie jedoch die Symmetrie des Bereichs um die x-Achse $(y = 0)$ und wie $y$ ist eine ungerade Funktion, dh $f( - y) = - f(y)$ , sein Integral über die Region $(R1+R2)$ wäre null. Man könnte also genauso gut auf die Integration verzichten $y$ .

Auch gegeben die Symmetrie, das Integral von $x$ über $R1$ Und $R2$ wäre das gleiche.

Sie könnten also genauso gut das Integral schreiben als

$\displaystyle 2 \int_{y=0}^{5/2}\int_{x=y}^{5-y} x \ dx \ dy = \frac{125}{4}$

Auch wenn es ohne Änderung der Variablen einfach ist, könnten Sie verwenden $x + y = u, x-y = v$ und das übersetzt sich in einen einfachen quadratischen Bereich, der an Koordinatenachsen ausgerichtet ist $0 \leq u \leq 5, 0 \leq v \leq 5$ und mit $|J| = \frac{1}{2}$ , wird das Integral

$\displaystyle \int_0^5 \int_0^5 \frac{u}{2} ~ du ~ dv = \frac{125}{4}$

Warum ist die Antwort für das Doppelintegral Null?

Umesh Shankar

Robert Ufer

Aniruddha Deshmukh

Diese Seite ist zu einer Müllhalde geworden.

Antworten (1)

Mathe-Liebhaber

Wie finde ich die Integrationsgrenzen und das Integral für ein Dreifachintegral?

Finden Sie die geschlossene Form für das Vierfachintegral

Triple Integral - Meine Antwort scheint zu groß

Integrierendes Massenelement einer Kugelscheibe

∬D(x2−y2)dxdy∬D(x2−y2)dxdy\iint_D(x^2-y^2)dxdy mit D umschlossen von y=2xy=2xy=\frac2x, y=4xy=4xy=\frac4x, y=xy=xy=x, y=x−3y=x−3y=x-3?

Doppelintegral ∫01∫01(xy)s−log(xy)√dxdy∫01∫01(xy)s−log⁡(xy)dxdy\int\limits_0^1\!\!\int\limits_0^1\frac {(xy)^s}{\sqrt{-\log(xy)}}\,dx\,dy

Doppelte Integration mit etwas schwierigem Intervall

Von Single-Variable Integration zu Multivariable Integration: Was ist aus dem „Problem“ „Signed/Net Area“ geworden?

Integral mit der Indikatorfunktion unter Verwendung von sphärischen Koordinaten

Habe ich die richtigen Schranken und Funktionen für dieses Integral?