∬D(x2−y2)dxdy∬D(x2−y2)dxdy\iint_D(x^2-y^2)dxdy mit D umschlossen von y=2xy=2xy=\frac2x, y=4xy=4xy=\frac4x, y=xy=xy=x, y=x−3y=x−3y=x-3?

Question

∬D(x2−y2)dxdy∬D(x2−y2)dxdy\iint_D(x^2-y^2)dxdy mit D umschlossen von y=2xy=2xy=\frac2x, y=4xy=4xy=\frac4x, y=xy=xy=x, y=x−3y=x−3y=x-3?

Integration
Mathematik
mehrfach ganzzahlig
bestimmte Integrale
Multivariable Infinitesimalrechnung

Giannis Koulouras

Ich wurde mit dem folgenden Problem konfrontiert: Berechnen Sie das doppelte Integral

\iint_{D} (X^{2} - j^{2}) D X D j

$\iint_D(x^2-y^2)dxdy$ wobei D die von den Kurven eingeschlossene Fläche ist

y = \frac{2}{x}

$y=\frac2x$ ,

y = \frac{4}{x}

$y=\frac4x$ ,

y = x

$y=x$ , Und

y = x - 3

$y=x-3$ .

Hier ist eine Visualisierung des Bereichs D: https://i.imgur.com/093gshN.png

Ich habe versucht, verschiedene Substitutionen zu verwenden, aber es gelingt mir immer nicht, den neuen Bereich zu finden oder womit x und y ersetzt werden sollten.

Ich stecke irgendwie fest und hätte gerne einen Hinweis darauf, was ich ersetzen soll (oder ob ich sogar Sie ersetzen sollte, um damit zu beginnen). Vielen Dank im Voraus!

Crostul

Die Domäne

D

$D$ kann durch diese Ungleichungen beschrieben werden:

2 \leq X j \leq 4; 0 \leq X - j \leq 3

$2 \le xy \le 4 ; \qquad 0 \le x-y \le 3$ Daher können Sie die Änderung von Variablen berücksichtigen

f : D \to [2; 4] \times [0; 3]

$f: D \to [2;4] \times [0;3]$

F (X; j) = (u; v) = (X j; X - j)

$f(x;y)=(u;v)=(xy;x-y)$

f

$f$ nicht offensichtlich zu invertieren ist, müssen Sie eine Gleichung zweiten Grades lösen, um zu erhalten

X = \frac{v + \sqrt{v^{2} + 4 u}}{2}

$x= \frac{v+\sqrt{v^2+4u}}{2}$

j = \frac{- v + \sqrt{v^{2} + 4 u}}{2}

$y= \frac{-v+\sqrt{v^2+4u}}{2}$

Antworten (3)

∬D(x2−y2)dxdy∬D(x2−y2)dxdy\iint_D(x^2-y^2)dxdy mit D umschlossen von y=2xy=2xy=\frac2x, y=4xy=4xy=\frac4x, y=xy=xy=x, y=x−3y=x−3y=x-3?

Die Domäne $D$ kann durch diese Ungleichungen beschrieben werden: $2 \leq X j \leq 4; 0 \leq X - j \leq 3$ $2 \le xy \le 4 ; \qquad 0 \le x-y \le 3$ Daher können Sie die Änderung von Variablen berücksichtigen $f: D \to [2;4] \times [0;3]$ $F (X; j) = (u; v) = (X j; X - j)$ $f(x;y)=(u;v)=(xy;x-y)$ $f$ nicht offensichtlich zu invertieren ist, müssen Sie eine Gleichung zweiten Grades lösen, um zu erhalten $X = \frac{v + \sqrt{v^{2} + 4 u}}{2}$ $x= \frac{v+\sqrt{v^2+4u}}{2}$ $j = \frac{- v + \sqrt{v^{2} + 4 u}}{2}$ $y= \frac{-v+\sqrt{v^2+4u}}{2}$

AP · Answer 1

Beginnen Sie mit einem Diagramm der Region $D$

Die Region $D$ ist geschlossen durch

j = X, j = X - 3, j = \frac{4}{X}, j = \frac{2}{X}

$y=x, \quad y=x-3,\quad y=\frac{4}{x},\quad y=\frac{2}{x}$ Umschreiben mit der Änderung von Variablen (dies ist eine Eins-zu-Eins-Transformation, wobei Jacobian nicht null ist)

\underset{u}{\underset{⏟}{X - j}} = 0, \underset{u}{\underset{⏟}{X - j}} = 3, \underset{v}{\underset{⏟}{j X}} = 4, \underset{v}{\underset{⏟}{j X}} = 2, X ⩾ 0, j ⩾ 0

$\underbrace{x-y}_{u}=0,\quad \underbrace{x-y}_{u}=3,\quad \underbrace{yx}_{v}=4,\quad \underbrace{yx}_{v}=2, \quad x\geqslant 0, y\geqslant 0$ wir haben

D^{*} = {(u, v) \in R^{2} : 0 ⩽ u ⩽ 3, 2 ⩽ v ⩽ 4}

$D^{*}=\{(u,v)\in \mathbb{R}^{2}:0\leqslant u\leqslant 3, 2\leqslant v\leqslant 4 \}$

Der Jacobi der Variablenänderung ist gegeben durch

| \frac{\partial (X, j)}{\partial (u, v)} | = | \begin{matrix} \frac{\partial X}{\partial u} & \frac{\partial X}{\partial v} \\ \frac{\partial j}{\partial u} & \frac{\partial j}{\partial v} \end{matrix} |

$\boxed{\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}}$ Aber in diesem Fall können wir zuerst rechnen

| \frac{\partial (u, v)}{\partial (X, j)} | = | \begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial X} & \frac{\partial u}{\partial j} \\ \frac{\partial v}{\partial X} & \frac{\partial v}{\partial j} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & - 1 \\ j & X \end{matrix} | = X + j

$\left|\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right|=\begin{vmatrix}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ y & x\end{vmatrix}=x+y$ Tatsache nutzen

| \frac{\partial (X, j)}{\partial (u, v)} \frac{\partial (u, v)}{\partial (X, j)} | = 1 ⟹ | \frac{\partial (X, j)}{\partial (u, v)} | = \frac{1}{| \frac{\partial (u, v)}{\partial (X, j)} |}

$\boxed{\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right|=1 \implies \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=\frac{1}{\left| \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right|}}$

Somit,

| \frac{\partial (X, j)}{\partial (u, v)} | = \frac{1}{X + j}

$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}\right|=\frac{1}{x+y}$

Verwendung des Satzes über die Änderung der Variablen in einem Doppelintegral

\iint_{D} F (X, j) D A = \iint_{D^{*}} F (X (u, v), j (u, v)) | \frac{\partial (X, j)}{\partial (u, v)} | D A^{*}

$\boxed{\iint_{D}f(x,y)\, {\rm d}A=\iint_{D^{*}}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|{\rm d}A^{*}}$ Deshalb,

\begin{aligned} \iint_{D} (X^{2} - j^{2}) D A & = \iint_{D} (X - j) (X + j) D A, \\ = \iint_{D^{*}} u \cdot (X + j) \frac{1}{X + j} D A^{*}, \\ = \iint_{D^{*}} u D A^{*}, \\ = \int_{2}^{4} \int_{0}^{3} u D u D v, \\ = 9. \end{aligned}

$\begin{align*} \iint_{D}(x^{2}-y^{2})\, {\rm d}A&=\iint_{D}(x-y)(x+y)\, {\rm d}A,\\ &=\iint_{D^{*}}u\cdot (x+y)\frac{1}{x+y}{\rm d}A^{*},\\ &=\iint_{D^{*}}u\, {\rm d}A^{*},\\ &=\int_{2}^{4}\int_{0}^{3}u{\rm d}u{\rm d}v,\\ &=9. \end{align*}$

Quanto · Answer 2

Lassen $u=y-x$ Und $v=xy$ . Dann wird der Integrand $x^2-y^2=u\sqrt{u^2+4v}$ mit dem Jacobi $\frac1{\sqrt{u^2+4v}}$ . Das Integral ist somit

\begin{aligned} \int_{2}^{4} \int_{0}^{3} u D u D v = 9 \end{aligned}

$\begin{align}\int_2^4 \int_0^3 u \ du dv= 9 \end{align}$

Bruno Peixoto · Answer 3

Der Bereich, in den Sie integrieren müssen, ist quasi-kartesisch in dem Sinne, dass Sie Koordinaten ändern und ihn in ein Rechteck umwandeln können. Da Sie eine Linie und eine hyperbolische Funktion haben, lassen Sie uns anrufen $y - x$ als $u$ Und $xy$ als v. Von hier aus können Sie den im Abschnitt "Änderung von Variablen für ein Doppelintegral" unter dem Link https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calciii/changeofvariables.aspx angegebenen Schritten folgen . Ich hoffe es reicht.

∬D(x2−y2)dxdy∬D(x2−y2)dxdy\iint_D(x^2-y^2)dxdy mit D umschlossen von y=2xy=2xy=\frac2x, y=4xy=4xy=\frac4x, y=xy=xy=x, y=x−3y=x−3y=x-3?

Giannis Koulouras

Crostul

Antworten (3)

AP

Quanto

Bruno Peixoto

Finden Sie die geschlossene Form für das Vierfachintegral

Integrierendes Massenelement einer Kugelscheibe

Doppelintegral ∫01∫01(xy)s−log(xy)√dxdy∫01∫01(xy)s−log⁡(xy)dxdy\int\limits_0^1\!\!\int\limits_0^1\frac {(xy)^s}{\sqrt{-\log(xy)}}\,dx\,dy

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