Wie würde ich die Gleichung von f(x) in Bezug auf x und y finden?

Die Funktion F ( X ) wurde entlang der x-Achse gedreht, um eine Fläche zu bilden.

∫ − 4 4 ∫ j = − 16 − X 2 j = 16 − X 2 ∫ − F ( X ) F ( X ) D z D j D X
Dies ist, was ich dachte, aber ich bin mir nicht sicher, was ich integrieren sollte ... Ich habe meine Grenzen für meine Integrale, aber ich habe nicht die Gleichung dieses Zylinders, in die ich integrieren kann (was ich glaube, ich brauche) . Wenn jemand meine Integration reparieren kann (falls sie falsch ist) oder / und mir die Gleichung eines Zylinders zur Verfügung stellen kann, wäre das großartig. Oder ob jemand mein f(x) als f(x,y) finden kann.

Finden Sie die Oberfläche oder das Volumen?
Das Volumen der Schnittmenge beider Flächen.
Sie müssen die Frage dann bearbeiten. Im Moment liest es sich nicht so.
Ich hoffe, das hat es behoben
Ja, es ist besser. Das von Matthew Pilling angegebene Integral ist korrekt, wenn Sie das Volumen im grünen Zylinder finden möchten.
Zahlenmäßig würde ich sagen. Ein einfacher Weg ist Monte Carlo. Wählen Sie ein geradliniges Volumen, das den Schnittpunkt enthält. Erzeuge dann zufällige <x, y, z>-Paare in diesem Volumen und überprüfe, ob jedes in der Schnittmenge liegt. Tun Sie dies viele Male und teilen Sie dann die Anzahl der Schnittpunkte durch die Gesamtzahl der Punkte: Dies gibt Ihnen den Bruchteil des Begrenzungsvolumens, der von dem geschnittenen Körper eingenommen wird. Da Sie das Volumen des Begrenzungsvolumens kennen, können Sie mit diesem Bruchteil das ungefähre Volumen des Schnittpunkts berechnen.

Antworten (2)

Lasst uns R = F ( X )

Wenn wir die Funktion um die x-Achse drehen, ist die Größe der Funktion der Radius des gedrehten Körpers.

j = R cos ⁡ T z = R Sünde ⁡ T T = arccos ⁡ j R z = R Sünde ⁡ ( arccos ⁡ j R ) = R 1 − ( j R ) 2 = F 2 ( X ) − j 2

D S = ( − ∂ z ∂ X , − ∂ z ∂ j , 1 )

( − F ( X ) F ' ( X ) F ( X ) 2 − j 2 , j F 2 ( X ) − j 2 , 1 ) “ D S “ = F 2 ( X ) F ' 2 ( X ) + j 2 + F 2 ( X ) − j 2 F 2 ( X ) − j 2 F 2 ( X ) ( F ' 2 ( X ) + 1 ) F 2 ( X ) − j 2

Die Oberfläche im Inneren des Zylinders:

∫ − 4 4 ∫ − 16 − X 2 16 − X 2 F ( X ) F ' 2 ( X ) + 1 F 2 ( X ) + j 2   D j   D X

Und das wäre eine der Oberflächen... da wäre auch eine Oberfläche wo z negativ ist, verdoppelt sich das Ergebnis, wenn Sie beide wollen.

Update ... die obige Arbeit gibt die Oberfläche ...

Wenn Sie die Lautstärke wollen.

∫ − 4 4 ∫ − 16 − X 2 16 − X 2 ∫ − F 2 ( X ) − j 2 F 2 ( X ) − j 2 D z   D j   D X

Ok, das sieht verrückt aus ... Ich verstehe es nicht ganz. Nur zur Verdeutlichung, dies würde mir das Schnittvolumen zwischen Oberfläche und Zylinder geben, wobei z positiv ist, also müsste ich es verdoppeln, um das volle Volumen zu erhalten?
@AlexGola suchst du das Volumen oder die Oberfläche ?
Ich suche das Volumen
Sie finden das Volumen des Raumbereichs innerhalb der blauen Fläche und außerhalb der grünen Fläche. Hab ich recht? Zu Ihrer Information, diese Antwort berechnet die Oberfläche, nicht das Volumen.
ach meine schuld. Ja, ich möchte das Volumen des Raums finden, in dem sich die blaue und die grüne Oberfläche schneiden. Finden Sie im Wesentlichen das Volumen, das sie teilen (irgendwie, es tut mir leid, ich weiß nicht wirklich, wie ich es formulieren soll).
Wir sind also definitiv im grünen Zylinder ... richtig? Und wir wollen diese Region durch die blaue Fläche abdecken?
Ich denke, das Volumen, das Sie suchen, ist
∫ − 4 4 ∫ − 16 − X 2 16 − X 2 ∫ − ( F ( X ) ) 2 − j 2 ( F ( X ) ) 2 − j 2 D z D j D X
aber ich könnte mich irren.
Ja, das Volumen, das ich suche, befindet sich definitiv im grünen Zylinder. Ich kann sehen, wie Sie zu dieser Antwort gekommen sind, ich werde sehen, ob sie mit meinen anderen Werten übereinstimmt. Danke
Nur eine nützliche Bemerkung. Die durch Rotation erzeugte Flächengleichung j = F ( X ) um die X − Achse ist j 2 + z 2 = ( F ( X ) ) 2 . Wenn wir um die gedreht haben j -Achse wäre dies stattdessen j = F ( X 2 + z 2 )
Ja danke, ich frage mich nur, was wäre der Integrand in diesem Fall? Weil ich ein ähnliches Problem mit meinem Dreifachintegral hatte, bei dem ich nicht wusste, was der Integrand war.
@AlexGola Aber ich frage mich, wie Sie auf diese Frage gestoßen sind, wenn Sie in der High School sind. Dies ist ein ziemlich umständliches Integral für die High School.
Diese Arbeit gibt die Oberfläche an.
Ich gehe ein wenig über die Erwartungen der Schule für mein Projekt. @MathLover
@AlexGola ok, aber selbst wenn Sie es in Polarkoordinaten umwandeln, scheint es mir immer noch ein sehr schwer auszuwertendes Integral zu sein. Sie gehen also nicht ein wenig über die Erwartungen hinaus, sondern viel :) Vielleicht irre ich mich
Das ist einen Teil meiner Abschlussnote wert, ich werde mein Bestes geben. Im Moment bin ich noch etwas ratlos, wie ich es lösen soll. Aber ich werde mein Bestes versuchen. @MathLover
@AlexGola Viel Glück. Der integrale Aufbau selbst ist nicht so schwierig. Ich würde also sagen, wenn Sie Ideen zur Lösung benötigen, sollten Sie eine Frage stellen, die den Kontext angibt, angibt, was Sie bisher getan haben, und dass Sie nach Vorschlägen suchen, wie Sie das Integral am besten auswerten können.

Angesichts Ihrer Funktion F ( X ) , ist die Gleichung der (halben) Fläche

z ( X , j ) = F ( X ) 2 − j 2
denn für jeden Punkt der Oberfläche ist der Abstand von der X Achse ist F ( X ) . Also die Lautstärke über die Region X 2 + j 2 ≤ 16 Ist
∫ − 4 4 ∫ − 16 − X 2 16 − X 2 z ( X , j ) D j D X

Ok, ich habe eine Weile gebraucht, um das zu verstehen, aber soll das Integral nicht dydx sein, nicht dxdy?
Ja Entschuldigung :). bearbeite den Tippfehler
Wie würde ich die Gleichung von f(x) in Bezug auf x und y finden?
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