Querproduktrichtung in sphärischen Koordinaten

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Das Kreuzprodukt eines Vektors M → mit R ^ gibt M Sünde ⁡ θ ϕ ^ wie vom Autor behauptet.

Dies wäre wahrscheinlich trivial, aber viele dieser subtilen technischen Einzelheiten sind mir in meinem multivariaten Kurs im ersten Jahr nicht begegnet. Das verlangsamt meinen Fortschritt in Physik erheblich.

Ich will wissen wie ϕ ^ festgestellt wird.

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Ich möchte hinzufügen, dass die Richtung aufgrund des obigen Kreuzprodukts senkrecht zu beiden sein muss M → Und R ^ . Natürlich muss es auf der xy-Ebene liegen, damit es zueinander senkrecht ist M → Und R ^ . Aber die ϕ ist schwer fassbar.

Tipp: Verwenden Sie a L A T E X Symbol \sinfür Sinusfunktion.

Antworten (2)

Die Einheitsvektoren seien in Kugelkoordinaten ρ ^ , θ ^ , ϕ ^ .

Beachten Sie, dass M → = M z ^ , Das z ^ = cos ⁡ θ ρ ^ − Sünde ⁡ θ θ ^ und das θ ^ × ρ ^ = − ϕ ^ .

Das Kreuzprodukt ist also

M → × ρ ^ = M ( cos ⁡ θ ρ ^ − Sünde ⁡ θ θ ^ ) × ρ ^ = M Sünde ⁡ θ ϕ ^ .

@Mathematik Hat das deine Frage beantwortet? Ansonsten lassen Sie es mich bitte wissen.
Können Sie mir eine detaillierte Kreuzproduktfunktion geben?
Ist ρ =1? oder ist es eine Linearkombination einer Basis?
Ja, die Länge ρ 1 ist, da es sich um einen Einheitsvektor handelt. Welcher Teil der produktübergreifenden Abläufe bereitet Ihnen Probleme? Denken Sie daran, dass Kreuzprodukte distributiv sind, dh wenn A , B , C sind also 3D-Vektoren A × ( B + C ) = A × B + A × C .
@Mathematik Beachten Sie das auch ρ ist ein Basisvektor.
Eigentlich habe ich es verstanden. Ich habe darüber nachgedacht. Danke für die Hilfe.
@Mathematik Kein Problem :)

Vergleichen Sie die sphärischen Koordinaten und die kartesischen Koordinaten:

N → ( R , φ , θ ) = { X = R cos ⁡ ( φ ) Sünde ⁡ ( θ ) j = R Sünde ⁡ ( φ ) Sünde ⁡ ( θ ) z = R cos ⁡ ( θ )

Definitionsgemäß sind die Einheitsvektoren des sphärischen Koordinatensystems

R ^ = { X = cos ⁡ ( φ ) Sünde ⁡ ( θ ) j = Sünde ⁡ ( φ ) Sünde ⁡ ( θ ) z = cos ⁡ ( θ ) , φ ^ = { X = − Sünde ⁡ ( φ ) j = cos ⁡ ( φ ) z = 0 , θ ^ = { X = cos ⁡ ( φ ) cos ⁡ ( θ ) j = Sünde ⁡ ( φ ) cos ⁡ ( θ ) z = − Sünde ⁡ ( θ )


Wenn

M → = { X = 0 j = 0 z = M
Dann M → × R ^ in kartesischen Koordinaten ist
M → × R ^ = { X = − M Sünde ⁡ ( φ ) Sünde ⁡ ( θ ) j = M cos ⁡ ( φ ) Sünde ⁡ ( θ ) z = 0
Und M Sünde ⁡ ( θ ) φ ^ Ist
M Sünde ⁡ ( θ ) φ ^ = { X = − M Sünde ⁡ ( θ ) Sünde ⁡ ( φ ) j = M Sünde ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( φ ) z = 0
Die beiden sind offensichtlich gleichberechtigt.

Querproduktrichtung in sphärischen Koordinaten
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