Warum stimmt der elektromagnetische Tensor in Komponentenform mit der differentiell-geometrischen Definition einer 222-Form überein?

Question

Warum stimmt der elektromagnetische Tensor in Komponentenform mit der differentiell-geometrischen Definition einer 222-Form überein?

Tensoren
Mathematik
Vektorfelder
Elektromagnetismus
Differentialformen
Differentialgeometrie

Ali

Aus dem Physikunterricht verstehe ich den elektromagnetischen Feldstärketensor als zu definieren

F^{μ v} = \partial^{μ} A^{v} - \partial^{v} A^{μ},

$F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu \;,$ Wo

\partial^{μ}

$\partial^\mu$ ist die partielle Ableitung (die ich als Vektor verstehe) und

A^{μ}

$A^\mu$ ist das elektromagnetische Vektorpotential (was ich als Vektorfeld verstehe , das Photonenfeld bei der Quantisierung).

Unter Differentialgeometrie verstehe ich a $2$ -Form eine Antisymmetrie sein $(0,2)$ -Tensorfeld, nämlich eine antisymmetrische multilineare Abbildung

ω : Γ (T M) \times Γ (T M) ⟶ C^{\infty} (M)

$\omega:\Gamma(TM)\times\Gamma(TM)\longrightarrow C^{\infty}(M)$

Wo $\Gamma(TM)$ ist die Menge der Vektorfelder an $M$ .

Hier ist mein Problem: Ich habe an vielen Stellen gesehen, dass "der elektromagnetische Feldstärketensor ein $2$ -Form". Ich habe jedoch Schwierigkeiten zu verstehen, wie die Definition des Feldstärketensors, die ich kenne, und die Definition von a $2$ -Form, die ich kenne, passen zusammen.

A $2$ -form nimmt als Argumente zwei Vektorfelder , nicht zwei Vektoren. $A^\mu$ ist ein Vektorfeld, aber soweit ich verstehe, $\partial^\nu$ ist ein Vektor (ein Objekt, das eine Funktion annimmt und differenziert), kein Vektorfeld . Daher fühlt es sich falsch an, den Feldstärketensor so zu schreiben wie
$\begin{aligned} F : Γ (T M) \times Γ (T M) & ⟶ C^{\infty} (M) \\ (\partial^{μ}, A^{μ}) & \mapsto F (\partial^{μ}, A^{μ}) . \end{aligned}$ $\begin{align} F:\Gamma(TM)\times\Gamma(TM)&\longrightarrow C^{\infty}(M)\\ (\partial^\mu,A^\mu)&\mapsto F(\partial^\mu,A^\mu). \end{align}$ Das Obige ist offensichtlich schlampig, aber ich nehme an, was ich sagen will, ist, dass mir nicht klar ist, dass die obige Definition der Feldstärke in Komponentenform in irgendeiner Weise mit der Definition von a übereinstimmt $2$ -form.
Ich fühle mich unwohl wegen meines Verständnisses dieser Objekte in differentiell-geometrischer Hinsicht: Wenn eine Ableitung ein Vektor in der Differentialgeometrie ist und ein Tangentenvektor eine Funktion als Argument hat $f\in C^\infty(M)$ , wie/warum wirken die Ableitungen in der obigen Definition des Feldstärketensors auf das Vektorfeld $A^\mu$ ?

Sal

Es kann helfen, die potenzielle Form explizit aufzuschreiben:

A = - V d t + A_{1} d x^{1} + A_{2} d x^{2} + A_{3} d x^{3}

$A=-Vdt+A_1dx^1+A_2dx^2+A_3dx^3$ , aus der wir die kovarianten Tensorkomponenten ablesen können. Dann rechnen

d A = F

$dA=F$ direkt

Ted Schifrin

Wenn Sie an die Ableitung denken

\partial^{ν}

$\partial^\nu$ als "Vektor", dann ist es natürlich das Vektorfeld

\partial / \partial x^{ν}

$\partial/\partial x^\nu$ auf dem Koordinatendiagramm. Die Summationskonvention ist durcheinander, weil Ihre Indizes eigentlich niedrigere Indizes sein sollten.

Ali

@TedShifrin Ah - es gibt eine Quelle der Verwirrung für mich. Du sagst

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ ist ein Vektorfeld kein Vektor? Ich nehme an, die Ableitung zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bewerten

p \in M

$p\in M$ macht

(\partial_{μ})_{p}

$(\partial_\mu)_p$ ein Vektor ? Auch nebenbei, habe ich gesehen

\frac{\partial f}{\partial x^{μ}} = \partial_{μ} (f \circ x^{- 1})

$\frac{\partial f}{\partial x^\mu}=\partial_\mu(f\circ x^{-1})$ , dh

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ Und

\frac{\partial}{\partial x^{μ}}

$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ sind nicht immer gleichwertig (?) - trifft das hier zu?

Antworten (1)

Warum stimmt der elektromagnetische Tensor in Komponentenform mit der differentiell-geometrischen Definition einer 222-Form überein?

Es kann helfen, die potenzielle Form explizit aufzuschreiben: $A=-Vdt+A_1dx^1+A_2dx^2+A_3dx^3$ , aus der wir die kovarianten Tensorkomponenten ablesen können. Dann rechnen $dA=F$ direkt
Wenn Sie an die Ableitung denken $\partial^\nu$ als "Vektor", dann ist es natürlich das Vektorfeld $\partial/\partial x^\nu$ auf dem Koordinatendiagramm. Die Summationskonvention ist durcheinander, weil Ihre Indizes eigentlich niedrigere Indizes sein sollten.
@TedShifrin Ah - es gibt eine Quelle der Verwirrung für mich. Du sagst $\partial_\mu$ ist ein Vektorfeld kein Vektor? Ich nehme an, die Ableitung zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bewerten $p\in M$ macht $(\partial_\mu)_p$ ein Vektor ? Auch nebenbei, habe ich gesehen $\frac{\partial f}{\partial x^\mu}=\partial_\mu(f\circ x^{-1})$ , dh $\partial_\mu$ Und $\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ sind nicht immer gleichwertig (?) - trifft das hier zu?

Nikolaj Ebel · Answer 1

die erste Frage

Die Sache ist, dass es ein bisschen schlampig ist, das zu sagen $F^{\mu \nu}$ ist ein Tensor. Es ist eine Koordinatenfunktion eines Tensors. Der Tensor, oder in diesem Fall eine 2-Form, ist

F = \frac{1}{2} F_{μ v} D X^{μ} \land D X^{v} .

$F =\frac{1}{2} F_{\mu \nu} dx^\mu \wedge dx^\nu.$

(Einstein-Summenkonvention wird verwendet.)

Hier $dx^\mu \wedge dx^\nu = \frac{1}{2} (dx^\mu \otimes dx^\nu - dx^\nu \otimes dx^\mu)$ ist ein antisymmetrisches Produkt oder ein äußeres Produkt . Die Haupteigenschaft davon ist, dass es antisymmetrisch ist, sodass Sie den expliziten Ausdruck über Tensorprodukte vernachlässigen können.

F wirkt auf eine Reihe von Vektorfeldern $(v,w)$ als

F (v, w) = F_{μ v} (D X^{μ} v) (D X^{v} w) = F_{μ v} v^{μ} w^{v} .

$F(v,w)=F_{\mu \nu} (dx^\mu v) (dx^\nu w) = F_{\mu \nu} v^\mu w^\nu.$

Somit ist die Antwort auf die erste Frage in irgendeinem Koordinatensystem

(v, w) \mapsto F_{μ v} v^{μ} w^{v} .

$(v,w) \mapsto F_{\mu \nu} v^\mu w^\nu.$

die zweite Frage

Ich hoffe, diesen Ort zu klären, bin mir aber nicht sicher, ob er zufriedenstellend sein wird. Ableitungen sind zwar Tangentenvektoren, aber $A^\mu$ ist ebenso wenig ein Vektorfeld $F^{\mu\nu}$ kein Tensor, sondern wieder eine Koordinatenfunktion eines Vektorfeldes. Und in diesem Sinne ist es kein Problem, dass ein Vektor auf eine Funktion einwirkt, obwohl er ein Label hat $\mu$ .

Um diesen Ort jedoch besser zu verstehen, sollten Sie darüber nachdenken $A$ eher als 1-Form als als Vektorfeld $A_\mu dx^\mu$ . Für Formen (jeglicher Ordnung) können Sie äußere Ableitungen definieren $d$ . Es bildet ab $p$ -Formen zu $(p+1)$ -Formen. Ich werde hier schreiben, wie es sich in einem Koordinatensystem verhält. Angenommen, Sie haben eine $p$ -form $w=w_{\mu_1 \ldots \mu_p} dx^{\mu_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\mu_p}$ , Dann:

D w = \partial_{μ_{0}} w_{μ_{1} \dots μ_{P}} D X^{μ_{0}} \land D X^{μ_{1}} \land \dots D X^{μ_{P}}

$dw = \partial_{\mu_0} w_{\mu_1 \ldots \mu_p} dx^{\mu_0} \wedge dx^{\mu_1} \wedge \ldots dx^{\mu_p}$

Wenn Sie dies haben, können Sie das leicht sehen, wenn $A$ ist ein $1$ -form $A=A_\mu dx^\mu$ , Dann

D A = \partial_{v} A_{μ} D X^{v} \land D X^{μ} = \frac{1}{2} (\partial_{v} A_{μ} - \partial_{μ} A_{v}) D X^{v} \land D X^{μ} = F .

$d A = \partial_\nu A_\mu dx^\nu \wedge dx^\mu =\frac{1}{2} (\partial_\nu A_\mu - \partial_\mu A_\nu) dx^\nu \wedge dx^\mu=F.$

Wenn Sie an Details interessiert sind, empfehle ich Ihnen „Gauge Fields, Knots And Gravity“ von John Baez und Javier P. Muniain zu lesen. Es hat eine gute elementare Einführung in Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder, Formen und all das. Obwohl es nicht ganz streng ist, ist es mehr als genug, um die Sprache zu verstehen.

Warum stimmt der elektromagnetische Tensor in Komponentenform mit der differentiell-geometrischen Definition einer 222-Form überein?

Ali

Sal

Ted Schifrin

Ali

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Nikolaj Ebel

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