Können alle Kovektorfelder als Produkt einer Funktion und eines Differentials einer anderen Funktion geschrieben werden?

Question

Können alle Kovektorfelder als Produkt einer Funktion und eines Differentials einer anderen Funktion geschrieben werden?

Mathematik
glatte Verteiler
Differentialformen
Differentialgeometrie
Multivariable Infinitesimalrechnung

Herr Ei

Ist es möglich, jedes Covektorfeld zu schreiben

a = \sum_{ich = 1}^{N} a^{ich} D X_{ich}

$\alpha = \sum_{i=1}^{n}\alpha^i\mathrm dx_i$ auf einem Verteiler in die Form

a = F D G,

$\alpha = f\mathrm{d}g,$ Wo

f

$f$ Und

g

$g$ sind glatte Funktionen? Oder können wir dies zumindest lokal tun?

Andrew D. Hwang

Im (einfachsten) Fall wo

α

$\alpha$ nicht verschwindet, ist dies wahr, wenn

n = 2

$n = 2$ (weil Zeilenfelder lokal integrierbar sind) und nicht if

n > 2

$n > 2$ (Eine Kontaktstruktur im dreidimensionalen Raum ist nicht lokal integrierbar; Pullbacks durch Koordinatenprojektion geben höherdimensionale Beispiele).

Antworten (1)

Können alle Kovektorfelder als Produkt einer Funktion und eines Differentials einer anderen Funktion geschrieben werden?

Im (einfachsten) Fall wo $\alpha$ nicht verschwindet, ist dies wahr, wenn $n = 2$ (weil Zeilenfelder lokal integrierbar sind) und nicht if $n > 2$ (Eine Kontaktstruktur im dreidimensionalen Raum ist nicht lokal integrierbar; Pullbacks durch Koordinatenprojektion geben höherdimensionale Beispiele).

GRAU · Answer 1

Ihre Frage bezieht sich darauf, ob es einen integrierenden Faktor gibt ( $1/f$ in deiner Notation). Im zweidimensionalen Fall gibt es immer einen integrierenden Faktor (dies ist im Wesentlichen gleichbedeutend mit der Existenz von Lösungen der Differentialgleichung $\alpha=0$ . Aber schon in 3D steckt man in Schwierigkeiten. In diesem Fall gibt es nur dann einen Integrationsfaktor $\alpha\wedge d\alpha=0$ . Die Antwort auf Ihre Frage wäre also: ja in 2D, nicht generell wenn $n\ge 3$ .

Können alle Kovektorfelder als Produkt einer Funktion und eines Differentials einer anderen Funktion geschrieben werden?

Herr Ei

Andrew D. Hwang

Antworten (1)

GRAU

Eine glatte Mannigfaltigkeit lässt genau dann eine nirgendwo verschwindende n-Form zu, wenn sie orientierbar ist

Was ist die Motivation für differentielle Formen?

Integration von Lie-Derivaten

Beweis des Cartan-Lemmmas: Warum sind die Koeffizienten glatt?

Isomorphie zwischen Raum der Differentialformen und Raum der Grundformen auf dem Haupt-S1S1S^1-Bündel und Unabhängigkeit der Kohomologieklasse

Zusammenhang zwischen dem Covektor (df)p(df)p(df)_p und dem Differential dfpdfpdf_p von fff bei ppp

Aufgabe 5.20 aus John Lees ISM. Jede offene Teilmenge einer eingetauchten Untermannigfaltigkeit SSS in der Unterraumtopologie ist auch in der Untermannigfaltigkeitstopologie offen

Warum müssen Differentialformen antisymmetrisch sein?

Über einen Beweis über das Verhältnis von Lusternik-Schnirelman-Kategorie und Körbchenlänge

Was könnte die Definition eines positiv orientierten Diagramms in From Calculus to Cohomology sein?