Identifizieren von Funktionen auf der Einheitsscheibe mit Funktionen auf der oberen Halbkugel

Ich habe mich über etwas gewundert, und es könnte Unsinn sein (wenn ja, entschuldige ich mich!). Betrachten Sie die Einheitsdisk in$\mathbb{R}^2$und eine Funktion$f$auf dem Datenträger definiert. Ich kann sein Doppelintegral berechnen als

$$\int_{D(0,1)} f dA = \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 f(r,\theta) r dr d\theta$$

nach Polarkoordinaten. Betrachten Sie nun separat eine Funktion$g$definiert auf der oberen Hemisphäre von$S^2$(die Kugel in$\mathbb{R}^3$. In sphärischen Koordinaten kann ich sein Integral über diesen Bereich berechnen als

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta,\phi) \sin(\theta) d\theta d\phi$$

Worüber ich mich wundere, ist Folgendes: eine Funktion gegeben$f$auf der unit disc finde ich eine funktion$g$auf der Halbkugel so dass

$$\int_{D(0,1)} f dA = \int_{0}^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(\theta,\phi) \sin(\theta) d\theta d\phi$$

Natürlich könnte ich mir einfach welche aussuchen$g$das befriedigt das, aber ich habe mich gefragt, ob es für jeden einen systematischen Weg gibt$f$auf der Einheitsdiskette, um sie mit a zu verknüpfen$g$auf der Kugel so, dass ihre Integrale gleich sind.

Bisher dachte ich an folgendes. Ich weiß, dass ich die Scheibe anhand der Karte auf der oberen Hemisphäre abbilden kann$F(x,y) = (x,y, \sqrt{1-x^2-y^2})$. Anfangs dachte ich naiverweise nur daran, jedem Punkt auf der Kugel den Wert von zuzuweisen$f(x,y)$an der entsprechenden Stelle darunter, aber das schlägt fehl. Dies würde eine konstante Funktion auf der Scheibe zu einer konstanten Funktion auf der Halbkugel senden, aber ihre Integrale sind unterschiedlich. Die Integration einer Konstanten auf der Einheitsscheibe würde nur die konstanten Zeiten ergeben$\pi$, wohingegen eine Konstante auf der oberen Hemisphäre beim Integrieren a ergeben würde$2\pi$. Ich wäre damit einverstanden, wenn sich dieser Prozess immer nur um den Faktor zwei unterscheiden würde (dh ich könnte identifizieren$g$mit$\frac{1}{2} f$), aber ich glaube nicht, dass das funktioniert.

Ich dachte, vielleicht könnte eine Änderung der Koordinaten funktionieren, aber ich bekomme es anscheinend nicht hin. Wenn jemand einen Vorschlag oder einen Hinweis in die richtige Richtung geben könnte, wäre das sehr hilfreich. Ich möchte keine vollständige Lösung, nur ein Hinweis oder eine Referenz, die relevante Ideen diskutiert, wäre großartig. Danke!