Ist das Differential an einem regulären Punkt, ein Vektorraum-Isomorphismus von Tangentialräumen, auch ein Diffeomorphismus von Tangentialräumen als Mannigfaltigkeiten?

Die Antwort auf Ihre Frage lautet ja, aber zumindest nach den meisten Behandlungen, die ich kenne, müssen Sie die Antwort nicht wirklich kennen, um die Definition des lokalen Index zu verstehen. Dies liegt daran, dass sich die Autoren wahrscheinlich eher auf das Konzept der "orientierungsbewahrenden" Isomorphismen orientierter Vektorräume aus der Algebra beziehen als auf das "orientierungsbewahrende" Konzept für Diffeomorphismen von Mannigfaltigkeiten aus der Geometrie. Die letztere Definition beinhaltet Glätte, während die erstere Definition dies nicht tut. Wie sich herausstellt$D_qf$ist als Vektorraum-Isomorphismus orientierungserhaltend genau dann, wenn$D_qf$ist als Diffeomorphismus von Mannigfaltigkeiten orientierungserhaltend, aber Sie brauchen eine Interpretation, wie ein Vektorraum zu einer Mannigfaltigkeit wird.

Um Ihr Argument zu präzisieren, müssen Sie sich als Erstes fragen, wie Sie denken möchten$T_qN$(Und$T_pM$) als Mannigfaltigkeit? Das heißt, was ist die Topologie und die glatte Struktur auf$T_qN$? Ohne diese Frage zu beantworten, kann man das nicht wirklich bestreiten$D_qf$ist ein Homöomorphismus/Diffeomorphismus. Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, die Sinn machen:

1. Denk an$T_qN$als Vektorraum. Beliebiger Vektorraum$V$hat eine einzigartige glatte Struktur, die durch Deklaration eines Isomorphismus erhalten wird$\psi \colon \mathbb{R}^n \rightarrow V$ein globales Diagramm für sein$V$. Sie können überprüfen, dass die glatte Struktur nicht von der Wahl des Isomorphismus abhängt, und sobald Sie einen Isomorphismus verwenden, ist jeder andere Isomorphismus auch ein globales Diagramm. Wenn Sie zwei Vektorräume ausstatten$V,W$Mit den oben beschriebenen natürlichen glatten Strukturen können Sie jede lineare Karte überprüfen$S \colon V \rightarrow W$automatisch glatt (insbesondere kontinuierlich). Daher, wenn$S$bijektiv ist, wird es ein Diffeomorphismus sein (wie$S^{-1}$ist ebenfalls linear, also glatt). Sie können auch die Tatsache verwenden, dass das Differential von$S$mit identifizieren kann$S$selbst, aber es verkompliziert nur die Argumentation. Insbesondere, wenn Sie dieses Argument anwenden$V = T_qN, W = T_pM$Und$S = D_qf$, das kriegst du hin$D_qf$ist ein Diffeomorphismus.
2. Denk an$T_qN$als Untermannigfaltigkeit des Tangentialbündels$TN$. Das kann man überprüfen$T_qN$ist in der Tat eine eingebettete Untermannigfaltigkeit von$TM$Es hat also eine natürliche, einzigartige, glatte Struktur, die mit der Subraumtopologie kompatibel ist, die sich zufällig als die gleiche Struktur herausstellt, die Sie erhalten würden, wenn Sie die Vektorraumstruktur verwenden würden. Mit dieser Interpretation können Sie das überprüfen$D_qf$ist ein Diffeomorphismus durch die Verwendung von Slice-Diagrammen$T_qN$Und$T_pM$(die kommen von der Erstellung von Diagrammen auf$TN,TM$) und verifizieren, dass in lokalen Koordinaten$D_qf$ist eine lineare bijektive Abbildung, daher ein Diffeomorphismus. Sie können auch auf verschiedene andere Arten argumentieren.

Um Ihrer Interpretation einen Sinn zu geben, beachten Sie als Nächstes, dass es nicht ausreicht, etwas zu geben$T_qN$die Struktur einer Mannigfaltigkeit. Sie müssen sich auch daran orientieren. Wie Sie das tun, hängt von Ihrer Definition von Orientierung ab (da es viele äquivalente Definitionen gibt). Wenn eine Orientierung durch die Abgabe eines Orientierungsatlasses definiert wird, ist es am einfachsten, mit der ersten obigen Interpretation zu arbeiten. Wenn$X \colon U \rightarrow N$ist ein orientiertes Diagramm herum$q$mit$X(a) = q$, definieren eine orientierte glatte Struktur an$T_qN$durch Deklaration des Differentials$DX|_a \colon T_a(\mathbb{R}^n) \rightarrow T_qN$um ein orientiertes Diagramm zu sein (wo Sie identifizieren$T_a(\mathbb{R}^n)$mit$\mathbb{R}^n$in gewohnter Weise). Wenn Ihre Definition von Orientierung anders ist, müssen Sie möglicherweise etwas anderes tun.

Wie Sie sehen können, müssen Sie viele Details ausfüllen, um mit Ihrer Interpretation zu arbeiten. Die meisten Bücher, die ich kenne (ich habe weder Tu noch Marsden überprüft), behandeln jedoch auch den Begriff einer Orientierung eines Vektorraums, der ein reiner Begriff der linearen Algebra ist, der nichts mit Problemen der Glätte zu tun hat. Dann definiert man, wann eine Abbildung zwischen orientierten Vektorräumen orientierungserhaltend ist und schließlich zeigt man, dass die Definition der Orientierung auf einer Mannigfaltigkeit liegt$N$induziert eine Orientierung für jeden Tangentialraum$T_qN$(was "weich variiert" in Bezug auf$q$). Dann bezieht sich die Definition des Index auf den Begriff der Orientierungserhaltung/Umkehr linearer Abbildungen zwischen orientierten Vektorräumen und nicht auf Diffeomorphismen zwischen orientierten Mannigfaltigkeiten. Dies ergibt eine konzeptionell sauberere Behandlung, da es die Frage der Glätte von der Frage der Beibehaltung/Umkehrung der Orientierung trennt.