Der Gradient einer Funktion hat die konstante euklidische Länge 111

Betrachten Sie eine Funktion$f : \mathbb R^{2} \to \mathbb R$die an jedem Punkt definiert und differenzierbar ist. Dann hat es einen Gradienten$\nabla f$. Nun stell dir das vor$|\nabla f(x,y)| = 1$für alle$x,y \in \mathbb R^{2}$. Dann muss die Funktion eine lineare Funktion sein (und damit$\nabla f$ist konstant)?

Das war die Frage. Also dachte ich, dass die Antwort nein sein sollte, aber es ist schwierig, ein Beispiel zu finden. Wir können die Feldlinien für den Gradienten zeichnen, und sie sollten orthogonal zu den Pegelkurven sein. Und da der Gradient die Länge 1 hat, scheint es intuitiv, dass dies für beliebige Niveaukurven gilt$f(x,y)=c$Und$f(x,y)=d$Wenn Sie Feldlinien zwischen ihnen ziehen, sollte die Länge entlang der Feldlinie, die diese Kurve verbindet, sein$|d-c|$. Eine einfache Idee ist hier also, einen konzentrischen Kreis als ebene Kurve zu nehmen, aber dieser kann nicht in eine Funktion umgewandelt werden, die im Mittelpunkt dieser Kreise differenzierbar ist.

Oder sollte ich stattdessen mit Feldlinien beginnen? Beginnen Sie mit einer Familie von Feldlinien, schneiden Sie eine Kurve mit einer einzigen Ebene hindurch und erklären Sie diese als gegeben$0$, gehen Sie dann entlang der einzelnen Feldlinien und finden Sie den Wert der Funktion in Abhängigkeit von der Länge. Ich könnte mit einer Familie von Parabeln gehen, weil das das Einzige ist, womit vielleicht die Länge berechnet werden kann.

Aber es wird ein Durcheinander, also weiß ich nicht, ob ich damit weitermachen soll. Gibt es also einen einfacheren Weg? Oder gehe ich hier in eine völlig falsche Richtung?

EDIT: fand eine ältere Frage, die dies beantwortete:$|\nabla f (x)| =1$impliziert$f$linear? . Vielen Dank an den Benutzer unten, der mir den technischen Ausdruck zur Verfügung gestellt hat, nach dem ich suchen soll.