Äquivalente Definitionen einer messbaren Menge in einer Mannigfaltigkeit

Question

Äquivalente Definitionen einer messbaren Menge in einer Mannigfaltigkeit

Wombat

Es scheint mindestens zwei Möglichkeiten zu geben, Messbarkeit in einem Smooth zu definieren $n$ -Verteiler $M$ , und ich möchte wissen, ob diese Definitionen äquivalent sind.

(1) Für den ersten sagen wir $A\subseteq M$ ist messbar, wenn für jedes Koordinatendiagramm $(U,\varphi)$ , $\varphi(A\cap U)$ ist ein Lebesgue-messbarer Satz in $\mathbb{R}^n$ .

Der zweite ist etwas kompliziert und geht wie folgt.

(2) $A\subseteq M$ heißt messbar, wenn sie als abzählbare Vereinigung von Mengen geschrieben werden kann $A_i$ mit jedem $A_i$ in einem Koordinatendiagramm enthalten $(U_i,\varphi_i)$ und somit auf eine messbare Lebesgue-Menge abgebildet $\varphi_i(A_i)$ .

Jetzt möchte ich feststellen, ob oder nicht (1) $\Leftrightarrow$ (2). Um zu beweisen, dass die erste Definition die zweite impliziert, möchte ich den Begriff der Kompaktheit ausnutzen, da jede offene Überdeckung einer kompakten Menge eine endliche Unterüberdeckung enthält. Das könnte hilfreich sein, wenn wir brechen wollen $A$ in abzählbar viele Stücke. Allerdings habe ich nicht allzu viele Informationen darüber $A$ . Vielleicht ist es überhaupt nicht kompakt. Was soll ich dann tun? Danke schön.

Quarantäne

Wenn Sie ersetzen

M

$M$ von

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ in Definition (2) bekommt man dort eine neue Definition für Messbarkeit. Ich denke, es ist äquivalent zu dem üblichen, weil eine zählbare Vereinigung von messbaren Mengen messbar ist. Wenn man dies rigoros beweisen kann, sollte dieser Beweis zu Mannigfaltigkeiten 'heben'.

Michał Miśkiewicz

Gibt es einen besonderen Grund, diesen Begriff der Messbarkeit zu verwenden? Sie könnten einfach mit Borel-Sets arbeiten

M

$M$ . Und wenn man zB eine Riemannsche Metrik an hat

M

$M$ , können Sie immer die Vervollständigung in Bezug auf das Volumenmaß nehmen.

Wombat

@MichałMiśkiewicz Danke. Ich möchte nur diese beiden Konzepte vereinen. Sie machen mich voller Angst.

Antworten (1)

Äquivalente Definitionen einer messbaren Menge in einer Mannigfaltigkeit

Wenn Sie ersetzen $M$ von $\mathbb{R}^n$ in Definition (2) bekommt man dort eine neue Definition für Messbarkeit. Ich denke, es ist äquivalent zu dem üblichen, weil eine zählbare Vereinigung von messbaren Mengen messbar ist. Wenn man dies rigoros beweisen kann, sollte dieser Beweis zu Mannigfaltigkeiten 'heben'.
Gibt es einen besonderen Grund, diesen Begriff der Messbarkeit zu verwenden? Sie könnten einfach mit Borel-Sets arbeiten $M$ . Und wenn man zB eine Riemannsche Metrik an hat $M$ , können Sie immer die Vervollständigung in Bezug auf das Volumenmaß nehmen.
@MichałMiśkiewicz Danke. Ich möchte nur diese beiden Konzepte vereinen. Sie machen mich voller Angst.

Lee Mosher · Answer 1

Punkt (2) sollte sorgfältiger geschrieben werden. Der Ausdruck „und so“ scheint unangemessen: einfach weil $A_i$ ist im Koordinatendiagramm enthalten $(U_i,\phi_i)$ es folgt dem $\phi_i(A_i)$ ist eine messbare Teilmenge. Tatsächlich Messbarkeit von $\phi_i(A_i)$ sollte als Bedingung gestellt werden. Also (2) sollte stattdessen sagen

(2) Eine Teilmenge $A \subset M$ ist messbar, wenn $A$ kann als abzählbare Vereinigung von Mengen geschrieben werden $A_i$ , und für jeden $i$ Es gibt ein Koordinatendiagramm $(U_i,\phi_i)$ , so dass $A_i \subset U_i$ und so das $\phi_i(A_i) \subset \mathbb R^n$ ist Lebesgue-messbar.

Um die Äquivalenz von (1) und (2) zu beweisen, Ihre Idee des Brechens $A$ in abzählbar viele Teile ist sehr wichtig, aber ich glaube nicht, dass Kompaktheit besonders relevant ist. Andererseits können Sie die zweite Zählbarkeit von anwenden $M$ eine abzählbare Sammlung von Koordinatenkarten auszuwählen $(U_i,\phi_i)$ damit die Sätze $U_i$ bilden eine abzählbare Basis von $M$ . Sie können dann schnell beweisen (1) $\implies$ (2) durch Einnahme $A_i = A \cap U_i$ .

Um die umgekehrte Richtung zu beweisen (2) $\implies$ (1) Betrachten Sie ein beliebiges Koordinatendiagramm $(U,\phi)$ wie in (1). Aus (2) ergibt sich eine abzählbare Sammlung von Koordinatenkarten $(U_i,\phi_i)$ und eine Teilmenge $A_i \subset A \cap U_i$ so dass $A = \cup_i A_i$ und damit $\phi_i(A_i)$ messbar ist $\mathbb R^n$ . Davon gehen wir aus $M$ hat eine zählbare Basis, und deshalb können wir eine zählbare Sammlung von Koordinatendiagrammen wählen $(V_j,\psi_j)$ so dass $U = \cup_j (U \cap V_j)$ , und daraus folgt $A \cap U = \cup_{i,j} (A_i \cap V_j)$ . Für jedes der abzählbar vielen geordneten Indexpaare $(i,j)$ , beachte das $U_i \cap V_j$ ist geöffnet $U_i$ , So $\phi_i(U_i \cap V_j)$ ist geöffnet $\mathbb R^n$ , also der Satz

ϕ_{ich} (A_{ich} \cap v_{J}) = ϕ_{ich} (A_{ich} \cap U_{ich} \cap v_{J}) = ϕ_{ich} (A_{ich}) \cap ϕ_{ich} (U_{ich} \cap v_{J})

$\phi_i(A_i \cap V_j) = \phi_i(A_i \cap U_i \cap V_j) = \phi_i(A_i) \cap \phi_i(U_i \cap V_j)$ messbar ist

R^{n}

$\mathbb R^n$ . Glättung der Überlappungskarte anwenden

ϕ \circ ϕ_{ich}^{- 1} : ϕ_{ich} (U \cap U_{ich}) \to ϕ (U \cap U_{ich})

$\phi \circ \phi_i^{-1} : \phi_i(U \cap U_i) \to \phi(U \cap U_i)$ es folgt dem

ϕ (A_{i} \cap V_{j})

$\phi(A_i \cap V_j)$ messbar ist

R^{n}

$\mathbb R^n$ . Übernahme der Vereinigung über die zählbare Menge von Indexpaaren

(i, j)

$(i,j)$ es folgt dem

ϕ (A \cap U)

$\phi(A \cap U)$ messbar ist

R^{n}

$\mathbb R^n$ , wie es zum Beweis von (1) erforderlich ist.

Entschuldigung, das ist mein Fehler. Die Aussage von (2) hätte wie deine formuliert werden sollen. Ja, das ist eine Definition. Ich wollte nur "über ein bestimmtes Diagramm" betonen.
Können Sie mir sagen, warum $\phi_{i(n)}(A \cap U_{i(n)})$ ist im Beweis der umgekehrten Richtung messbar, bitte? Wo sind die $A_i$ 'S?
Ich habe die Notation vereinfacht und einen schlechten Tippfehler korrigiert (ein Vereinigungszeichen, das fälschlicherweise als Kreuzungszeichen geschrieben wurde).
Danke, aber ich denke, es gibt ein logisches Problem. Im Beweis von (2) $\implies$ (1), sollten wir davon ausgehen, dass $A=\cup_i A_i$ , wo jeder $A_i$ ist in einem Diagramm enthalten $(U_i,\phi_i)$ mit $\phi_i(A_i)$ messbar ein $\mathbb{R}^n$ . Ich fürchte, wir können nicht ganz neu prägen $A_i$ wie du es getan hast $A_i=A \cap U_i$ . Wir müssen uns um die Alten kümmern $A_i$ 'S.
Ich habe darauf angespielt, als ich sagte: "Sie können dann nehmen $A_i = A \cap U_i$ ". Was auch immer Ihre ursprüngliche Sammlung ist $A_i$ 's is, oder besser, nennen wir sie $A_j$ 's, dann ersetzen Sie sie durch ihre Schnittpunkte mit den $U_i$ 'S. Ich kann später mehr darüber sagen, wenn Sie möchten ... kann aber im Moment nicht.
Danke, aber im Ernst, bist du dir sicher? $ϕ_{ich} (A_{ich} \cap U_{ich} \cap v_{J}) = ϕ_{ich} (A_{ich}) \cap ϕ_{ich} (U_{ich} \cap v_{J}) ?$ $\phi_i(A_i \cap U_i \cap V_j) = \phi_i(A_i) \cap \phi_i(U_i \cap V_j)?$ Dafür gibt es ein Gegenbeispiel $F (C \cap D) \neq F (C) \cap F (D) .$ $f(C\cap D)\neq f(C)\cap f(D).$ Alles, was wir über diese beiden Sets sagen können, ist das $F (C \cap D) \subseteq F (C) \cap F (D),$ $f(C\cap D)\subseteq f(C)\cap f(D),$ Deshalb konnte ich die frühe Version Ihres Beweises nicht verstehen.
$\phi_i$ ist ein Homöomorphismus und daher eine Bijektion aus der Menge $U_i$ zur Teilmenge $\phi_i(U_i) \subset \mathbb R^n$ . Für jede Bijektion $f : X \to Y$ und für beliebige Teilmengen $C,D \subset X$ , es stimmt, dass $f(C \cap D) = f(C) \cap f(D)$ .
Meine Güte, ich wünschte, ich hätte dich früher treffen können! Ihre wertvollen Ratschläge werden viele meiner Beweise in meinen frühen Jahren verfeinern. Übrigens die Bedingung für $f(C \cap D) = f(C) \cap f(D)$ um wahr zu sein, kann sich von Bijektivität zu Injektivität entspannen.

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