Ist die Umkehrung von "fast" diagonalen nichtsingulären Matrizen auch "fast" diagonal?

Annahme: Gegeben sei eine Folge quadratischer Matrizen P k , k = 1 , 2 , . . . , N mit lim k → ∞ P ich J k = 0 für ich ≠ J (aber das diagonale Element von P k darf nicht konvergieren). Außerdem ist die Determinante der Folge eine Konstante, angenommen det P k = 1 , k = 1 , 2 , . . . N .

Frage: Lass U k = ( P k ) − 1 . Ich frage mich, ob lim k → ∞ U ich J k = 0 , für ich ≠ J ?

Derzeit denke ich, dass wir vielleicht von der Gleichung ausgehen können:

U ich J k = C J ich k det P k
, Wo C J ich k ist der ( J , ich ) Cofaktor von P k . Aber ich komme nicht weiter.

Außerdem könnte es einfacher sein, wenn wir die diagonalen Elemente von annehmen P k , k = 1 , 2 , . . . , N sind also gleichmäßig beschränkt P k hat eine konvergente Teilfolge.

Antworten (1)

Nein, es stellt sich heraus. Zum Beispiel, wenn P k = ( 1 k 1 k 0 0 1 k 0 0 0 k 2 ) , Dann U k = ( k − k 0 0 k 0 0 0 1 k 2 ) .

Wenn wir andererseits davon ausgehen, dass die diagonalen Elemente der P k gleichmäßig beschränkt sind, dann ist die Antwort ja. Der Grund ist, dass jeder U ich J k = C ich J k ; Jeder dieser Kofaktoreinträge ist eine Determinante einer Matrix, die einheitlich begrenzte Einträge und eine Zeile/Spalte hat, deren Einträge alle dazu neigen 0 als k → ∞ , und solche Determinanten müssen dann dazu tendieren 0 . (Um dies zu sehen, schreiben Sie die Determinante als alternierende Summe von Produkten von Einträgen der Matrix, oder „faktorisieren Sie an ε " aus der speziellen Zeile/Spalte.)

Vielen Dank für Ihr Beispiel! Möchten Sie dieses Problem beantworten, wenn wir eine zusätzliche Annahme hinzufügen, dass die Diagonalelemente von P k sind begrenzt?
mit dem anderen Fall bearbeitet
Das ist klar. Danke noch einmal!
Ist die Umkehrung von "fast" diagonalen nichtsingulären Matrizen auch "fast" diagonal?
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