Existenz differenzierbarer Matrixabbildungen M(3,R)→M(3,R)M(3,R)→M(3,R)M(3,\mathbb{R}) \rightarrow M(3,\mathbb{ R})

Wir verwenden den impliziten Funktionssatz, das ist eine bekannte Methode.

ich für$f$. Lassen$p:X\in M_3\mapsto X^2$Und$U=diag(-1,1,1)$; Dann$p(U)=I_3$; die Ableitung von$p$Ist

$Dp_X:H\in M_3\mapsto XH+HX$Und$Dp_U(H)=UH+HU$ist eine Summe von Funktionen, die pendeln.

$p$hat einen Einheimischen$C^{1}$Umkehrung aus einer Umgebung von$I_3$zu einer Nachbarschaft von$U$IFF$Dp_U$ist invertierbar. Lassen$spectrum(U)=(\lambda_i)_i$.

Entsprechend

https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product#Abstract_properties

$spectrum(Dp_U)=\{\lambda_i+\lambda_j;i,j\}=\{-2,0,0,0,0,2,2,2,2\}$und deshalb$p$hat kein$C^1$lokale Umkehrung.

ii) für$g$(auf die gleiche Weise). Lassen$q:X\in M_3\mapsto X^3$Und$V=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$; Dann$q(V)=I_3$; die Ableitung von$q$Ist

$Dq_X:H\in M_3\mapsto HX^2+XHX+X^2H$Und$Dq_V(H)=HV^2+VHV+V^2H$ist eine Summe von Funktionen, die pendeln.

$spectrum(V)=spectrum(V^2)=(\mu_i)_i=\{1,u,u^2\}$Wo$u=e^{2i\pi/3}$.

Dann$spectrum(Dq_V)=\{\mu_i^2+\mu_i\mu_j+\mu_j^2;i,j\}$.

Mit$\mu_i=1,\mu_j=u$, erhalten wir (mindestens) einen Null-Eigenwert und damit$q$gibt kein Einheimischer zu$C^1$umgekehrt.

BEARBEITEN. Antwort auf das OP und Sally G.

Wenn Sie die Theorie der Kronecker-Produkte nicht kennen, dann genügt es, Elemente von anzuzeigen$\ker(Dp_U)$und von$\ker(Dq_V)$. Zum Beispiel

$H=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\in\ker(Dp_U)$Und$H=diag(1,0,-1)\in\ker(Dq_V)$.

Ich bin mir bei differenzierbaren Karten im Allgemeinen nicht ganz sicher, aber um auf die Existenz von a zu testen$C^1$-map, können Sie den Umkehrfunktionssatz verwenden: Sie suchen nach einer lokalen Umkehrung von$C^1$-Karte$h:M(3,\mathbb R)\to M(3,\mathbb R),~A\mapsto A^2$um$A_0$, Wo$A_0$ist eine der obigen Matrizen. Eine solche Karte existiert iff$\mathrm Dh(A_0)$ist invertierbar. Das solltest du also testen.