Beweisen Sie, dass der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge größer oder gleich 4 sein muss.

Also, hier ist das Problem:

Lassen { A N } N ∈ N eine Folge reeller Zahlen sein, bei der alle Terme der Folge zum Intervall gehören [ 4 , 9 ) . Beweisen oder widerlegen Sie dann die Behauptung, dass es eine konvergente Teilfolge gibt { B N } so dass lim N → ∞ B N ≥ 4 .

Beweisversuch:

Ich behaupte, dass es keine konvergenten Teilfolgen gibt, deren Grenze streng kleiner als 4 ist. Da dies eine beschränkte Folge reeller Zahlen ist, wird sie eine konvergente Teilfolge haben, und diese Teilfolge muss eine Grenze größer oder gleich 4 haben.

Um dies zu beweisen, nehmen wir an, dass alle konvergenten Teilfolgen eine Grenze strikt kleiner als 4 haben müssen. Wir wählen eine davon aus und sagen, dass die Grenze ist C . Betrachten Sie dann eine ϵ Nachbarschaft von C so dass C + ϵ < 4 .

Wir können dies sicherlich definieren, weil zum Beispiel ϵ = 4 − C 2 . Dann, diese Nachbarschaft von C muss unendlich viele Terme der Teilfolge enthalten. Mit anderen Worten, es gibt Terme der ursprünglichen Folge, die außerhalb des gegebenen Intervalls liegen. Dies ist ein Widerspruch.

Daraus folgt, dass eine solche konvergente Teilfolge nicht existieren kann.

Funktioniert obiger Beweis? Wenn nicht, warum dann? Wie kann ich es reparieren?

Woher wissen Sie, dass die Folge überhaupt konvergente Teilfolgen hat? (Das tut es natürlich, aber ich weiß nicht, welche Werkzeuge Ihnen zur Verfügung stehen, um das zu wissen.)
Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge. Das ist die Aussage des Satzes von Bolzano-Weierstraß. In diesem Fall ist unsere gegebene Sequenz oben durch 9 und unten durch 4 begrenzt.
Das ist in Ordnung. Sie sollten Ihren Beweis einfach damit beginnen, dass Bolzano-Weierstraß die Existenz einer konvergenten Teilfolge garantiert, sodass nur noch zu bestimmen ist, ob der Grenzwert dieser Teilfolge kleiner als 4 sein kann.
Jop, werde das beachten. Aber ich meine, wenn ich diese Art von Beweisen schreibe, müsste ich dann jedes Mal explizit den Namen des Theorems erwähnen? Könnte ich nicht einfach die Behauptung aufstellen, ohne mich jemals explizit auf den Namen zu berufen?
Würde ich, aber ich bin seit 27 Jahren Anwalt, also bin ich es gewohnt, jeden einzelnen Schritt zu buchstabieren.
Wow, ich habe noch nicht einmal mit dem Grundstudium begonnen ... Ich werde versuchen, dieser Praxis zu folgen, Details in jeden Schritt meiner Argumentation aufzunehmen: D Vielen Dank für Ihre Unterstützung und Ihren Beitrag.

Antworten (1)

Ich behaupte, dass es keine konvergenten Teilfolgen gibt, deren Grenzwert streng kleiner als 4 ist.

Um dies zu beweisen, nehmen wir an, dass alle konvergenten Teilfolgen eine Grenze strikt kleiner als 4 haben müssen.

So würden Sie nicht widersprechend argumentieren. Denn was Sie dann gezeigt haben, ist, dass nicht alle konvergenten Teilfolgen streng kleiner als Grenzwert haben 4 . Einer von ihnen konnte es jedoch .

Allerdings funktioniert Ihr Beweis dann tatsächlich nur mit einer beliebigen solchen Teilfolge, also ändern Sie einfach Ihre Aussage zu

Um dies zu beweisen, nehmen wir an, dass es eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert streng kleiner als 4 gibt.

wird die Arbeit erledigen.

Ahhh okay, also wie ich den Streit angefangen habe, war das Problem, aber alles andere funktioniert, oder? Vielen Dank.
Richtig. Wenn ich ein pedantischerer Korrektor wäre, könnte ich auch verlangen, dass Sie die Wahl von angeben ϵ = 4 − C 2 ist in der Tat streng größer als 0 aber dein beweis ist richtig.
Okay, vielen Dank, ich werde ein Argument dafür hinzufügen, warum das unbedingt größer als 0 ist. Ich lerne immer noch, wie man diese Beweise richtig konstruiert, also mache ich dumme Fehler wie die, die Sie erwähnt haben. Nochmals vielen Dank für Ihren Beitrag
Übrigens, wenn Sie gesehen haben, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge hat, haben Sie vielleicht auch das gesehen, wenn B N ≥ C für alle N , Dann lim N B N ≥ C . Das hättest du direkt verwenden können? (Sie haben tatsächlich gerade einen Beweis für diese Aussage geschrieben.)
Ah, das klingt sicherlich einfacher. Ich versuche, die meisten dieser Aussagen direkt aus der Definition zu beweisen, weil ich ein bisschen mehr Übung für meinen Analysekurs bekomme, der bald beginnen wird.
Beweisen Sie, dass der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge größer oder gleich 4 sein muss.
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