Kürzester Pfad zwischen zwei Punkten bei anfänglicher Neigungsbeschränkung

Question

Kürzester Pfad zwischen zwei Punkten bei anfänglicher Neigungsbeschränkung

Federicober

Angenommen, wir haben zwei Punkte $(x_0, y(x_0))$ Und $(x_1, y(x_1))$ .

Ich will den Weg finden $y(x)$ das minimiert den Abstand zwischen beiden Punkten mit einigen besonderen Einschränkungen:

$y\in C^\infty$ . Wir wollen alle Derivate von $y$ kontinuierlich sein (weil wir für ein reales Szenario lösen)
Steigung und Höhe des Anfangspunktes sind voneinander abhängig, so dass $f(y(x_0), y'(x_0))=0$ . Wo $f$ ist bekannt.

Ein solcher Fall wäre der, in dem $(x_0, y(x_0))$ liegt auf der Oberfläche eines Einheitskreises und $y'(x_0)$ tangiert den Kreis.

Federicober

Das eigentliche Problem, das ich lösen möchte, ist, wenn die Linie den Kreis tangiert

y_{0}

$y_0$ bildet einen Winkel

θ

$\theta$ mit

y^{'} (x_{0})

$y'(x_0)$

Intelligente pauca

Einen Polygonzug (in Ihrem Fall aus zwei Segmenten gebildet) können Sie mit a approximieren

C^{\infty}

$C^\infty$ so funktionieren, wie Sie es möchten.

Federicober

Aber wenn wir ein Polygon verwenden, wäre es nicht

C^{\infty}

$C^\infty$ , oder wir bräuchten viele Segmente, um eine anständige Schätzung vorzunehmen

Intelligente pauca

Sie können nur zwei Segmente verwenden: Das erste beginnt bei

P_{0}

$P_0$ mit der Steigung, die Sie benötigen, verbindet sich die zweite mit dem Ende der ersten

P_{1}

$P_1$ . Der Punkt ist, dass das erste Segment so kurz gemacht werden kann, wie Sie möchten, daher gibt es kein Minimum.

Antworten (1)

Kürzester Pfad zwischen zwei Punkten bei anfänglicher Neigungsbeschränkung

Das eigentliche Problem, das ich lösen möchte, ist, wenn die Linie den Kreis tangiert $y_0$ bildet einen Winkel $\theta$ mit $y'(x_0)$
Einen Polygonzug (in Ihrem Fall aus zwei Segmenten gebildet) können Sie mit a approximieren $C^\infty$ so funktionieren, wie Sie es möchten.
Aber wenn wir ein Polygon verwenden, wäre es nicht $C^\infty$ , oder wir bräuchten viele Segmente, um eine anständige Schätzung vorzunehmen
Sie können nur zwei Segmente verwenden: Das erste beginnt bei $P_0$ mit der Steigung, die Sie benötigen, verbindet sich die zweite mit dem Ende der ersten $P_1$ . Der Punkt ist, dass das erste Segment so kurz gemacht werden kann, wie Sie möchten, daher gibt es kein Minimum.

Intelligente pauca · Answer 1

Lassen $P_0$ , $P_1$ seien die beiden Punkte und $\theta$ der feste Winkel, der durch die Tangente an gebildet wird $P_0$ und Linie $P_0P_1$ . Wenn $\theta=0$ Der kürzeste Weg ist Segment $P_0P_1$ .

Wenn $\theta\ne0$ Betrachten Sie den Pfad, der durch ein erstes Segment gebildet wird $P_0P_2$ der Länge $x$ einen Winkel machen $\theta$ mit $P_0P_1$ , mit Segment verbunden $P_2P_1$ . Dieser Pfad ist nicht glatt, aber man kann ihn mit a annähern $C^\infty$ Kurve, deren Länge beliebig nahe an der Länge des Weges liegt.

Dieser Weg hat offensichtlich eine Länge $L$ größer als $P_0P_1$ , Aber $L\to P_0P_1$ als $x\to0$ . Daher gibt es kein Minimum: Sie können einen glatten Pfad mit den gewünschten Eigenschaften finden, dessen Länge dem Abstand so nahe kommt, wie Sie möchten $P_0P_1$ , kann aber niemals diesen Minimalwert erreichen, der nur für eine gerade Linie möglich ist.

Um das Problem sinnvoll zu machen, müssen Sie eine andere Einschränkung hinzufügen, z. B. eine maximale Krümmung des Pfads.

Kürzester Pfad zwischen zwei Punkten bei anfänglicher Neigungsbeschränkung

Federicober

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