Wie erhält man den geometrischen Median in 1D, indem man ein Optimierungsproblem löst?

Es stimmt, dass der Median diese Eigenschaft hat.

Wenn die Anzahl der Punkte ungerade ist, dann ist der Median die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft. Wenn Sie dort eine Diskrepanz erhalten, ist entweder der Solver ungenau oder es gibt ein Problem mit Ihrer Eingabe.

Wenn Sie jedoch eine gerade Anzahl von Punkten haben, könnte es viele gleich gute Lösungen geben. Angenommen, die Punkte sind in aufsteigender Reihenfolge:$x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{2n}$. Dann für jeden Punkt$\mu \in [x_n, x_{n+1}]$, wir haben

$$\sum_{i=1}^{2n} |x_i - \mu| = \sum_{i=1}^n (\mu - x_i) + \sum_{i=n+1}^{2n} (x_i - \mu) = \sum_{i=n+1}^{2n} x_i - \sum_{i=1}^n x_i.$$ Es gibt$n$Begriffe wo$\mu$ist positiv u$n$Begriffe wo$\mu$negativ ist, also heben sie sich auf, und es besteht keine Abhängigkeit von$\mu$: Alle Punkte in diesem Bereich sind gleich gut!

In der Tat alle Punkte im Bereich$[x_n, x_{n+1}]$werden die optimalen Lösungen sein. (Wenn$\mu > x_{n+1}$, dann gibt es noch mehr$+\mu$Bedingungen als$-\mu$Terme, also verkleinern wir die Summe durch Verkleinern$\mu$. Wenn$\mu < x_n$, dann gibt es noch mehr$-\mu$Bedingungen als$+\mu$Begriffe, also verringern wir die Summe durch Erhöhen$\mu$.)

Der Median wird normalerweise definiert als$\frac{x_n + x_{n+1}}{2}$in diesem Fall wird aber eher ein LP-Löser geben$x_n$oder$x_{n+1}$als optimale Lösung.