Das Volumen der Hyperbel drehte sich um die y-Achse

Die Art und Weise, wie Sie das Integral aufstellen, scheint korrekt zu sein (genauso würde ich es aufstellen), aber ich denke, Sie haben es etwas falsch berechnet. Sie haben vergessen, dass Sie auch den unteren Teil der Hyperbel haben. Das Volumen sollte also verdoppelt werden.

$$V=2\cdot 2\pi\int_{1}^{3}x\sqrt{x^2-1}\,dx= \frac{4}{2}\pi\int_{1}^{3}\sqrt{x^2-1}\frac{d}{dx}(x^2-1)\,dx=\\ 2\pi\int_{0}^{8}\sqrt{u}\,du=2\pi\frac{2\sqrt{u^3}}{3}\bigg|_{0}^{8}= \frac{4}{3}\pi\left(\sqrt{8^3}-\sqrt{0}\right)=\frac{64\sqrt{2}\pi}{3}$$

Wolfram-Alpha-Check

Deine Lösung ist richtig.

Methode 2: Verwenden von Doppelintegralen.

Nämlich durch Drehen des Graphen um die$y$-Achse können wir definieren$y$als Funktion mit zwei Variablen$y(x,z)=\sqrt{x^2+z^2-1}$, für$y\ge 0$. Definieren Sie als Nächstes eine Region

$$D=\{(x,z)\ |\ 1\le x^2+z^2 \le 9\}$$

Um das Volumen des Oberkörpers zu erhalten, werten wir das Integral aus

$$\iint\limits_D y(x,z)\ \text dx\ \text dz = \iint\limits_D \sqrt{x^2+z^2-1}\ \text dx\ \text dz$$

und um das Gesamtvolumen zu erhalten, multiplizieren wir es einfach mit zwei. Das obige Integral kann leicht mit Polarkoordinaten gefunden werden, und wir haben:

$$V = 2\int_0^{2\pi}\int_1^3 r\sqrt{r^2-1}\ \text dr\ \text d\theta$$

Methode 3: Die Waschmethode.

Stellen Sie sich eine horizontale Unterlegscheibe (Ring) mit einer Dicke von vor$\text dy$, auf einer Höhe$y$von dem$x$-Achse. Sein Innenradius ist$r_1 = \sqrt{1+y^2}$und sein Außenradius ist$r_2 = 3$. Das Volumen der Waschmaschine ist$\text dV = (r_2^2-r_1^2)\pi$. Um das Gesamtvolumen zu erhalten, integrieren Sie die Volumina aller dieser Unterlegscheiben:

$$V=\int\limits_{-2\sqrt2}^{2\sqrt2} \pi(9-y^2-1)\ \text dy$$