Erhalten der Verteilung von (X(1),X(n))(X(1),X(n))(X_{(1)},X_{(n)}) unter Verwendung der Dichtefunktion

Ich bin gegeben X 1 , X 2 , . . . , X N ∼ ich ich D U ( a , β ) , und gebeten, eine gemeinsame Verteilung von Bestellstatistiken zu finden - X ( 1 ) , X ( N ) . Obwohl ich weiß, dass es eine viel einfachere Lösung gibt, wollte ich stattdessen versuchen, die Fugendichte zu integrieren.

Die Gleichung sah wie folgt aus:

F X ( 1 ) , X ( N ) ( X , j ) = N ( N − 1 ) ( β − a ) N ∫ a j ∫ a X ( v − u ) N − 2 D u ⋅ D v = ( j − a ) N − ( j − X ) N + ( a − X ) N ( β − a ) N

Die Gleichung ist bis auf die letzte richtig ( a − X ) N Begriff. Da meine gemeinsame Dichte korrekt ist, folgerte ich, dass der Fehler in meinem Integral liegen muss. Ich habe versucht, die Grenzen zu ändern und die Reihenfolge der Integrale umzukehren, aber nichts scheint zu funktionieren. Ich wäre dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, wo ich falsch liege.

Antworten (1)

Die Obergrenze für Ihr inneres Integral sollte sein   Mindest ( X , v )   denn die Dichte ist nicht immer   N ( N − 1 ) ( v − u ) N − 1 ( β − a ) N   . Wenn   u > v   , es verschwindet.

Also muss ich dieses Integral in zwei Fälle zerlegen, X < v Und X ≥ v ? In diesem Fall, wenn X < v , würde das Problem in meinem Integral bestehen bleiben?
Nein. Sie müssen das äußere Integral in zwei Teile teilen, von   a Zu   X   , Wenn v ≤ X   und die obere Grenze des inneren Integrals wird dann sein   v   , und von   X   Zu   j   Wenn   X ≤ v ≤ j   und die obere Grenze des inneren Integrals sein   X   . Sie müssen dies nur für tun   X < j   , weil wenn   j ≤ X   , Dann   F X ( 1 ) , X ( N ) ( X , j ) = F X ( N ) ( j )   .
Es hat eine Weile gedauert, bis ich herausgefunden habe, was du gesagt hast, aber jetzt habe ich es verstanden und es hat funktioniert. Vielen Dank!
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