Finden des erwarteten Wertes der Position im Quadrat in der Quantenmechanik

Ich stecke bei dieser Frage für eine Physikaufgabe fest

  1. Ein Teilchen in einer Dimension wird in einem durch die Wellenfunktion gegebenen Quantenzustand präpariert
    ψ ( X ) = ( β π ) 1 / 4 exp ⁡ ( − β X 2 / 2 ) , − ∞ < X < ∞ ,
    Wo β > 0 .
    [ Gegeben: ∫ − ∞ ∞ D j e − j 2 = π Und ∫ − ∞ ∞ D j j 2 e − j 2 = π 2 ]

Ich suche nach dem erwarteten Wert der Position im Quadrat für diese Wellenform, die durch gegeben ist ∫ − ∞ ∞ X 2 ψ 2 D X und ich habe es neu angeordnet, um dies zu bekommen

∫ − ∞ ∞ X 2 ( β π ) 1 2 e − β X 2
aber ich kann nicht sehen, wie es weitergeht. Hat jemand Tipps/Lösungen?

Dies ist ein bekanntes Problem, die Varianz einer Gaußschen Verteilung. Sie können es auf das Integral der Gaußschen Verteilung selbst reduzieren, indem Sie die Integration nach Teilen verwenden. Das Integral der Gaußschen Verteilung selbst ist dann ein noch berühmteres Problem, das mit einem cleveren Trick gelöst wird. Sie können es jedoch noch einfacher tun, weil Ihnen die Antwort für gegeben wird β = 2 bereits. Sie können also einfach eine lineare Änderung der Variablen vornehmen, um auf den gegebenen Fall zu reduzieren.
Bitte tippen Sie alle Bilder aus. Tipps zur Formatierung hier .

Antworten (1)

Also haben wir

β π ∫ − ∞ ∞ X 2 e − β X 2 D X = durch Teile und u Substitution β π X e − β X 2 | − ∞ ∞ + 1 2 β ∫ − ∞ ∞ e − β X 2 D X = 1 2 β ∫ − ∞ ∞ e − β X 2 D X
Können Sie von hier aus mit der Tatsache über das Gaußsche Integral abschließen? Die Substitution u = β X sieht recht ansprechend aus...

Ein anderer Ansatz besteht darin, a β -Ableitung des letzten Gaußschen Integrals. (Das funktioniert für alle X 2 N wenn man nimmt N Derivate.)
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