Erklären Sie, wie dieses Integral hergeleitet wird, indem Sie zu Polarkoordinaten wechseln.

Question

Erklären Sie, wie dieses Integral hergeleitet wird, indem Sie zu Polarkoordinaten wechseln.

Guin_go

Ich habe mir den folgenden Beitrag im Physik-Stack-Austausch über das Coulomb-Feld angesehen

https://physics.stackexchange.com/questions/7462/fourier-transform-of-the-coulomb-potential?newreg=edecf6cd6c9a404ba842fd7dfb093be8

In Pablos Antwort hat er das Integral

\int_{R^{3}} \frac{1}{(2 π)^{3}} \frac{e^{ich k \cdot R}}{k^{2} + A^{2}} D^{3} k

$\int_{\mathbb{R}^3 } \frac{1}{(2 \pi )^3 } \frac{e^{i k \cdot r } }{k^2+a^2} d^3k$

Was es nach dem Umschalten auf Polarkoordinaten wird

\frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{0}^{\infty} \frac{k^{2}}{k^{2} + A^{2}} D k \int_{0}^{2 π} D ϕ \int_{- π / 2}^{π / 2} \cos θ e^{ich k R Sünde θ} D θ

$\frac{1}{(2 \pi )^3 } \int_0^{\infty } \frac{k^2}{k^2+a^2} dk \int_0^{2 \pi } d \phi \int_{-\pi /2 }^{\pi /2} \cos \theta e^{ikr \sin \theta } d \theta$

Ich kann jedoch nicht verstehen, wie dies abgeleitet wurde, denn wenn $k=(k_1,k_2,k_3)$ Und $r=((r_1,r_2,r_3)$ Kugelkoordinaten sind

k_{1} = ρ \cos θ Sünde ϕ

$k_1 =\rho \cos \theta \sin \phi$

k_{2} = ρ Sünde θ Sünde ϕ

$k_2=\rho \sin \theta \sin \phi$

k_{3} = ρ \cos ϕ

$k_3=\rho \cos \phi$ So

e^{ich k \cdot R}

$e^{ik \cdot r}$ würde werden

e^{ich (ρ \cos θ Sünde ϕ R_{1} + ρ Sünde θ Sünde ϕ R_{2} + ρ \cos ϕ R_{3})}

$e^{i ( \rho \cos \theta \sin \phi r_1+\rho \sin \theta \sin \phi r_2 +\rho \cos \phi r_3 )}$ Ich kann nicht sehen, wie dies dem angegebenen Ergebnis ähnelt. Können Sie erklären, wie dies abgeleitet wird?

Peter Ag

Nur ein Hinweis für den eiligen Leser - die

ϕ

$\phi$ der Polarkoordinaten in der Physik ist die

θ

$\theta$ der Polarkoordinaten in der Mathematik....

Ted Schifrin

Ihre Formel für sphärische Koordinaten ist falsch; Abgesehen davon verwenden Sie die Koordinaten der Mathematiker

k_{3}

$k_3$ ist falsch, aber die Integrationsformel verwendet die Koordinaten der Physiker, die auf Maß umgestellt sind

θ

$\theta$ von dem

x y

$xy$ -Flugzeug eher als von der

z

$z$ -Achse. Was für ein Chaos!

Peter Ag

Ergänzend zu Teds Kommentar und jetzt zu Marks Antwort unten: Zunächst einmal ist das anfängliche Integral rotationsinvariant - es hängt nur von der Größe ab

r

$r$ von

\vec{r}

$\vec r$ . Davon kann man also ausgehen

\vec{r}

$\vec r$ liegt auf der

z

$z$ Achse. Ich denke, das wollte Pablo schreiben - dh er hat einen Tippfehler - als er direkt vor seiner Berechnung schrieb: "Wenn wir Polarkoordinaten mit verwenden

\vec{k}

$\vec k$ in der z-Achse haben wir ...“ Immerhin integriert er aus/über

\vec{k}

$\vec k$ . ...

Peter Ag

... Zweitens: Wenn

θ

$\theta$ ist der Winkel über/von der

x - y

$x-y$ Flugzeug [das scheint nicht so zu sein, wie du es zu nehmen scheinst, aber wie Pablo zu sein scheint], das haben wir auf jeden Fall

k_{3} = k \sin θ

$k_3= k \sin\theta$ , Und

\vec{r} \cdot \vec{k} = r k \sin θ

$\vec r \cdot \vec k = rk \sin\theta$ .

Markus Viola

@guin_go Bitte lassen Sie mich wissen, wie ich meine Antwort verbessern kann. Ich möchte Ihnen wirklich die bestmögliche Antwort geben. –

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Erklären Sie, wie dieses Integral hergeleitet wird, indem Sie zu Polarkoordinaten wechseln.

Nur ein Hinweis für den eiligen Leser - die $\phi$ der Polarkoordinaten in der Physik ist die $\theta$ der Polarkoordinaten in der Mathematik....
Ihre Formel für sphärische Koordinaten ist falsch; Abgesehen davon verwenden Sie die Koordinaten der Mathematiker $k_3$ ist falsch, aber die Integrationsformel verwendet die Koordinaten der Physiker, die auf Maß umgestellt sind $\theta$ von dem $xy$ -Flugzeug eher als von der $z$ -Achse. Was für ein Chaos!
Ergänzend zu Teds Kommentar und jetzt zu Marks Antwort unten: Zunächst einmal ist das anfängliche Integral rotationsinvariant - es hängt nur von der Größe ab $r$ von $\vec r$ . Davon kann man also ausgehen $\vec r$ liegt auf der $z$ Achse. Ich denke, das wollte Pablo schreiben - dh er hat einen Tippfehler - als er direkt vor seiner Berechnung schrieb: "Wenn wir Polarkoordinaten mit verwenden $\vec k$ in der z-Achse haben wir ...“ Immerhin integriert er aus/über $\vec k$ . ...
... Zweitens: Wenn $\theta$ ist der Winkel über/von der $x-y$ Flugzeug [das scheint nicht so zu sein, wie du es zu nehmen scheinst, aber wie Pablo zu sein scheint], das haben wir auf jeden Fall $k_3= k \sin\theta$ , Und $\vec r \cdot \vec k = rk \sin\theta$ .
@guin_go Bitte lassen Sie mich wissen, wie ich meine Antwort verbessern kann. Ich möchte Ihnen wirklich die bestmögliche Antwort geben. –

Markus Viola · Answer 1

Lassen $f(\vec r)$ durch dieses Integral gegeben sein

F (\vec{R}) = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{R^{3}} \frac{e^{ich \vec{k} \cdot \vec{R}}}{k^{2} + A^{2}} D^{3} \vec{k}

$f(\vec r)=\frac1{(2\pi)^3}\int_{\mathbb{R^3}}\frac{e^{i\vec k\cdot\vec r}}{k^2+a^2}\,d^3\vec k$

Mit festem $\vec r$ , wenden wir eine Rotationstransformation in an $\vec k$ -Raum (dh, $\vec k\mapsto \vec k'$ ) anpassen $k'_z$ mit $\vec r$ .

Beachten Sie, dass $k^2=k'^2$ Und $\vec k\cdot \vec r=k'r\cos(\theta')$ . Dann ist insofern der Jacobi einer Rotationstransformation gleich $1$ , das behaupten wir

\begin{aligned} F (\vec{R}) & = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{R^{3}} \frac{e^{ich \vec{k} \cdot \vec{R}}}{k^{2} + A^{2}} D^{3} \vec{k} \\ = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{R^{3}} \frac{e^{ich k^{'} R \cos (θ^{'})}}{k^{' 2} + A^{2}} D^{3} {\vec{k}}^{'} \\ = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{\infty} \int_{R^{3}} \frac{e^{ich k^{'} R \cos (θ^{'})}}{k^{' 2} + A^{2}} k^{' 2} Sünde (θ^{'}) D k^{'} D θ^{'} D ϕ^{'} \end{aligned}

$\begin{align} f(\vec r)&=\frac1{(2\pi)^3}\int_{\mathbb{R^3}}\frac{e^{i\vec k\cdot\vec r}}{k^2+a^2}\,d^3\vec k\\\\ &=\frac1{(2\pi)^3}\int_{\mathbb{R^3}}\frac{e^{ik'r\cos(\theta')}}{k'^2+a^2}\,d^3\vec k'\\\\ &=\frac1{(2\pi)^3}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \int_0^\infty \int_{\mathbb{R^3}}\frac{e^{ik'r\cos(\theta')}}{k'^2+a^2}\,k'^2 \sin(\theta')\,dk'\,d\theta'\,d\phi' \end{align}$

Kannst du jetzt fertig werden?

@guin_go Bitte lassen Sie mich wissen, wie ich meine Antwort verbessern kann. Ich möchte Ihnen wirklich die bestmögliche Antwort geben.
@guin_go Und fühlen Sie sich frei, nach oben zu stimmen und eine Antwort zu akzeptieren, wie Sie es für richtig halten. ;-)

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Peter Ag

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