Beweis interessanter Identitäten für ein integrales Produkt konfluenter hypergeometrischer Funktionen.

Question

Beweis interessanter Identitäten für ein integrales Produkt konfluenter hypergeometrischer Funktionen.

Infinitesimalrechnung
Integration
Mathematik
Gamma-Funktion
hypergeometric-function

Benutzer

Während ich an einem Problem arbeitete, stieß ich auf das folgende interessante Ergebnis.

Lassen:

H_{N M} (X) = \int_{0}^{\infty} T^{X - 1} e^{- T} Protokoll T F (- N; X; T) F (- M; X; T) D T,

$H_{nm}(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\log t\;F(-n;x;t)F(-m;x;t)\;dt,$ Wo

n, m

$n,m$ sind nicht negative ganze Zahlen,

x

$x$ ist eine positive reelle Zahl und

F (A; B; T) = \sum_{k \geq 0} \frac{A^{\bar{k}}}{B^{\bar{k}}} \frac{T^{k}}{k!}

$F(a;b;t)=\sum_{k\ge0}\frac{a^{\overline k}}{b^{\overline k}}\frac{t^k}{k!}$ ist die konfluente hypergeometrische Funktion.

Da das Integral bezüglich der Permutation von symmetrisch ist $n$ Und $m$ im Folgenden $n\ge m$ wird angenommen.

Durch numerischen Nachweis ergibt sich das Integral zu folgenden einfachen Werten:

\begin{matrix} (1) & H_{N M} (X) = \frac{N! Γ^{2} (X)}{Γ (X + N)} \times {\begin{cases} ψ (X + N), & N = M; \\ \frac{1}{M - N}, & N \neq M . \end{cases} \end{matrix}

$H_{nm}(x)=\frac{n!\;\Gamma^2(x)}{\Gamma(x+n)}\times \begin{cases} \displaystyle\psi(x+n),& n=m; \\ \displaystyle\frac1{m-n},&n\ne m. \end{cases}\tag1$ Wo

Γ (x)

$\Gamma(x)$ Und

ψ (x)

$\psi(x)$ sind die Gamma- bzw. Digamma-Funktionen.

Gibt es eine einfache Möglichkeit, die Beziehungen zu beweisen? $(1)$ ?

Antworten (1)

Beweis interessanter Identitäten für ein integrales Produkt konfluenter hypergeometrischer Funktionen.

Paul Enta · Answer 1

Die konfluenten hypergeometrischen Funktionen sind mit den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen verwandt :

\begin{aligned} F (- N; X; T) & = \frac{Γ (N + 1) Γ (X)}{Γ (X + N)} L_{N}^{(X - 1)} (T) \end{aligned}

$\begin{align} F(-n;x;t)&=\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(x)}{\Gamma(x+n)}L_n^{(x-1)}(t) \end{align}$ So

H_{N, M} (X) = \frac{N! M! Γ^{2} (X)}{Γ (X + N) Γ (X + M)} \int_{0}^{\infty} T^{X - 1} e^{- T} \ln T L_{N}^{(X - 1)} (T) L_{M}^{(X - 1)} (T) D T

$\begin{equation} H_{n,m}(x)=\frac{n!m!\Gamma^2(x)}{\Gamma(x+n)\Gamma(x+m)}\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\ln t L_n^{(x-1)}(t)L_m^{(x-1)}(t)\,dt \end{equation}$ Die Orthogonalitätsrelation für die Laguerre-Polynome lautet

\int_{0}^{\infty} T^{X - 1} e^{- T} L_{N}^{(X - 1)} (T) L_{M}^{(X - 1)} (T) D T = \frac{Γ (N + X)}{N!} δ_{N, M}

$\begin{equation} \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}L_n^{(x-1)}(t)L_m^{(x-1)}(t)\,dt=\frac{\Gamma(n+x)}{n!}\delta_{n,m} \end{equation}$ Es kann unterschieden werden bzgl

x

$x$ erhalten

\int_{0}^{\infty} T^{X - 1} e^{- T} \ln T L_{N}^{(X - 1)} (T) L_{M}^{(X - 1)} (T) D T + \int_{0}^{\infty} T^{X - 1} e^{- T} \frac{D}{D X} [L_{N}^{(X - 1)} (T) L_{M}^{(X - 1)} (T)] D T = \frac{Ψ (N + X) Γ (N + X)}{N!} δ_{N, M}

$\begin{equation} \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\ln t L_n^{(x-1)}(t)L_m^{(x-1)}(t)\,dt+\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\frac{d}{dx}\left[L_n^{(x-1)}(t)L_m^{(x-1)}(t)\right]\,dt=\frac{\Psi(n+x)\Gamma(n+x)}{n!}\delta_{n,m} \end{equation}$ Aus der Differenzierungsrelation

\frac{D}{D X} L_{N}^{(X - 1)} (T) = \sum_{k = 0}^{N - 1} \frac{L_{k}^{(X - 1)} (T)}{N - k}

$\begin{equation} \frac{d}{dx}L_n^{(x-1)}(t)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{L_k^{(x-1)}(t)}{n-k} \end{equation}$ und Erkennen der Definition von

H_{n, m} (x)

$H_{n,m}(x)$ , wir haben also

\begin{aligned} \frac{Γ (N + X) Γ (M + X)}{N! M! Γ^{2} (X)} H_{N, M} (X) & + \sum_{k = 0}^{N - 1} \frac{1}{N - k} \int_{0}^{\infty} T^{X - 1} e^{- T} L_{k}^{(X - 1)} (T) L_{M}^{(X - 1)} (T) D T \\ + \sum_{k = 0}^{M - 1} \frac{1}{M - k} \int_{0}^{\infty} T^{X - 1} e^{- T} L_{k}^{(X - 1)} (T) L_{N}^{(X - 1)} (T) D T \\ = \frac{Ψ (N + X) Γ (N + X)}{N!} δ_{N, M} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\Gamma(n+x)\Gamma(m+x)}{n!m!\Gamma^2(x)}H_{n,m}(x)&+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n-k}\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}L_k^{(x-1)}(t)L_m^{(x-1)}(t)\,dt\\ &+\sum_{k=0}^{m-1}\frac{1}{m-k}\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}L_k^{(x-1)}(t)L_n^{(x-1)}(t)\,dt\\ &=\frac{\Psi(n+x)\Gamma(n+x)}{n!}\delta_{n,m} \end{align}$ unter Verwendung der Orthogonalitätsrelation und unter der Annahme, dass

n > m

$n> m$ , bleibt nur ein Term in den Summen erhalten, während es kein Wenn gibt

n = m

$n=m$ :

\frac{Γ (N + X) Γ (M + X)}{N! M! Γ^{2} (X)} H_{N, M} + \frac{1}{N - M} \frac{Γ (M + X)}{M!} (1 - δ_{N, M}) = \frac{Ψ (N + X) Γ (N + X)}{N!} δ_{N, M}

$\begin{equation} \frac{\Gamma(n+x)\Gamma(m+x)}{n!m!\Gamma^2(x)}H_{n,m}+\frac{1}{n-m}\frac{\Gamma(m+x)}{m!} \left( 1-\delta_{n,m} \right)=\frac{\Psi(n+x)\Gamma(n+x)}{n!}\delta_{n,m} \end{equation}$ das ist der vorgeschlagene Ausdruck.

Das ist ein sehr schöner Beweis. Vielen Dank! Ich habe einige kleine Ungenauigkeiten korrigiert, die sich in der Ableitung gegenseitig aufgehoben hatten. Hoffentlich stört es dich nicht.
Gern geschehen. Sorry für die Fehler und danke für die Korrektur!

Beweis interessanter Identitäten für ein integrales Produkt konfluenter hypergeometrischer Funktionen.

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Paul Enta

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Paul Enta

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