Gamma- und Beta-Funktion....

Zeige, dass

$$\int_0^1 x^m (\ln \frac{1}{x})^n\mathrm dx=\frac{\Gamma(n+1)}{(m+1)^{n+1}}$$

Lassen,$\ln\frac{1}{x}=z$. So,$x=e^{-z}$Und,$\mathrm dx =-e^{-z}\mathrm dz$

$$\begin{align} \int_0^1 x^m (\ln \frac{1}{x})^n\mathrm dx&= \int^\infty_0 (e^{-z})^mz^n(-e^{-z}\mathrm dz)\\&=\int^\infty_0 e^{-(m+1)z}z^{(n+1)-1} \mathrm dz\end{align}$$

In der nächsten Zeile haben sie das geschrieben

$$\frac{\Gamma(n+1)}{(m+1)^{n+1}}$$

Wie haben sie gefunden$(m+1)^{n+1}$? ich weiß, dass

$$\Gamma(n+1)=\int_0^\infty e^{-z}z^{n+1 -1}\mathrm dz$$

Wie haben sie konvertiert$e^{-(m+1)z}$?

$$=\int_0^\infty e^t (\frac{t}{m+1})^{(n+1)-1}\mathrm dt$$ $$=\frac{1}{(m+1)^{(n+1)-1} \int_0^\infty e^{-t}t^{n+1-1}\mathrm dt}$$ $$=\frac{\Gamma(n+1)}{(m+1)^{n}}$$

Aber ich habe$n$in der Macht des Nenners. Sie schrieben$n+1$