Annäherung an Integral über Sphäre

Ich hätte gerne Hilfe bei der Annäherung des Oberflächenintegrals

$$\int_{S^{n-1}_{\ge 0}}\frac{1}{\hat n\cdot p}dS$$ Wo $\hat n$ist die Einheit normal zur Kugel an dem gegebenen Punkt, $p\in\mathbb{R}^n$ein fester Vektor mit allen positiven Komponenten ist, und $S^{n-1}_{\ge 0}$ist der Anteil der Kugel in $\mathbb{R}^n$mit allen positiven Komponenten.

Das Problem ist auf folgende Weise aufgetreten. Angenommen, man hat ein zeitabhängiges Budget$v(t)$auf einem Markt von$n$Artikel mit jeweils einem positiven Preis, der sich über die Zeit ändert, gegeben durch den Vektor$p(t)=\langle p_1,\dots,p_n\rangle$. Eine Möglichkeit, eine "Kaufkraft" zu berücksichtigen, wäre die Anzahl der Möglichkeiten, unterschiedliche Mengen dieser Artikel zu kaufen, d.h.

$$\text{PP}(t)=\#\{x\in\mathbb{N}^n \; |\; x\cdot p(t)\le v(t)\}$$ Um dies anzunähern, wollen wir es "undeskretisieren". Unter der Annahme, dass beide gleichmäßig verteilt sind, die Anzahl solcher ganzzahliger Komponenten $x$sollte proportional zum Volumen der Menge sein, wenn sie auf realwertige Komponenten erweitert wird, d.h. $$\text{PP}(t)\sim |\{x\in\mathbb{R}_{\ge 0}^n\; |\; x\cdot p(t)\le v(t)\}|$$ Angenommen, einige $x_0$erfüllt $x_0\cdot p(t)\le v(t)$, dann alle Vektoren in Richtung von berücksichtigen $x_0$die auch die Ungleichung erfüllen, erhalten wir eine Linie der Länge $v(t)/x_0\cdot p(t)$. Somit kann dieses Volumen gut angenähert werden, indem die Längen dieser Linien über alle möglichen Richtungen integriert werden $$\text{PP}(t)\sim v(t)\int_{S^{n-1}_{\ge 0}}\frac{1}{\hat n\cdot p}dS$$ Das Beste, was ich tun konnte, um dieses Integral anzunähern, war, Folgendes zu berücksichtigen: $$\int_{S^{n-1}_{\ge 0}}\frac{1}{\hat n\cdot p}dS=\frac{1}{\|p\|}\int_{S^{n-1}_{\ge 0}}\frac{1}{\cos\theta}dS$$ Wo $\theta$ist der Winkel dazwischen $p$und die aktuelle normal $\hat n$. Um dies anzunähern, habe ich mich für die Integration in Bezug auf entschieden $\theta$auf der Kugel um den Winkel aus nach außen fegen $p$beginnt um $p$Wo $\theta = 0$. Wenn wir lassen $\theta_0=\min\{\angle(e_1,p),\dots, \angle(e_n,p)\}$klar können wir nach außen fegen $\theta_0$ohne die Grenzen zu verlassen $S^{n-1}_{\ge 0}$, bewegt sich jedoch an diesem Winkel vorbei $p$wird diese Grenzen verlassen. Ich gehe jedoch davon aus (möglicherweise fälschlicherweise), dass der Beitrag bei einem bestimmten Winkel ungefähr proportional zum Anteil der Achsen innerhalb dieses Winkels ist $p$. Das ist $$\frac{1}{\|p\|}\int_{S^{n-1}_{\ge 0}}\frac{1}{\cos\theta}dS\sim \int_{0}^{\pi/2}\frac{\#\{e_i \; |\; \angle(e_i, p)\le \theta\}}{n}\cdot \frac{1}{\cos \theta}\cdot \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}\theta^{n-1}d\theta$$ wo die Obergrenze von $\pi/2$war relativ willkürlich, einfach weil $\#\{e_i \; |\; \angle(e_i, p)\le \theta\}$ist garantiert null für $\theta$beliebig größer. Da wir das wissen $\angle(e_i,p)=\arccos(p_i/\|p\|)$wir können dieses Integral zu vereinfachen $$\begin{aligned} &\int_{0}^{\pi/2}\frac{\#\{e_i \; |\; \angle(e_i, p)\le \theta\}}{n}\cdot \frac{1}{\cos \theta}\cdot \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}\theta^{n-1}d\theta \\ =&\frac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(n/2)}\sum_{i=1}^n\int_{0}^{\arccos(p_i/\|p\|)}\theta^{n-1}\sec\theta \;d\theta \end{aligned}$$ Alles in allem habe ich also das Gefühl (obwohl mir ein vollständig formaler Beweis fehlt). $$\text{PP}(t)\sim \frac{v(t)}{\|p(t)\|}\cdot\frac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(n/2)}\sum_{i=1}^n\int_{0}^{\arccos(p_i/\|p\|)}\theta^{n-1}\sec\theta \;d\theta$$ aber das ist das Beste, was ich tun kann. Ich kann dieses endgültige Integral anscheinend auch nicht vereinfachen oder annähern. Ich könnte evtl. eine Serienerweiterung von gebrauchen $\sec(x)$und termweise integrieren.