Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte über einem Borel-Set

Dies liegt an der Eindeutigkeit der Erweiterung von Wahrscheinlichkeitsmaßen, für die Dynkins$\pi$-$\lambda$Theorem ist einer der Go-to-Hammer. Es ist ein so nützliches Ergebnis, dass ich Ihnen dringend empfehlen würde, den Beweis nachzuschlagen (es ist einer dieser Beweise, die einfach sind, nachdem Sie ihn gesehen haben, aber Sie fragen sich am Ende, wie jemand überhaupt daran gedacht hat ... zumindest von mir) und Übertragen Sie das Ergebnis in den Speicher. Eine Standardfolge des Satzes von Dynkin ist das folgende Eindeutigkeitsergebnis:

Satz.

Vermuten$(S,\mathscr{A})$ist ein messbarer Raum, und$\mu,\nu$sind Wahrscheinlichkeitsmaße definiert auf$\mathscr{A}$, und nehme an$\mathcal{P}$ist ein$\pi$-System, das die erzeugt$\sigma$-Algebra$\mathscr{A}$, dh$\mathscr{A}=\sigma(\mathcal{P})$. Wenn$\mu,\nu$zustimmen$\mathcal{P}$, Dann$\mu,\nu$stimme voll und ganz zu$\sigma$-Algebra$\mathscr{A}$.

Um zu sehen, wie Sie diesen Satz auf Ihren speziellen Fall anwenden können, überlegen Sie sich$S=\Bbb{R}$, mit$\mathscr{A}$der Borel zu sein$\sigma$-Algebra von$\Bbb{R}$. Definieren$\mu=\Bbb{P}_{\xi}$die Verteilung Ihrer Zufallsvariablen sein und definieren$\nu(B)=\int_{B}f_{\xi}\,dx$. So,$\mu,\nu$sind beide Wahrscheinlichkeitsmaße auf definiert$\mathscr{A}$(um das zu sehen$\nu$ist in der Tat ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das müssen Sie wissen$f_{\xi}\geq 0$ae, und Sie müssen den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden).

Nun, bedenke$\mathcal{P}=\{(-\infty,x]\,:\, x\in\Bbb{R}\}$, die Sammlung aller rechtsgeschlossenen Strahlen. Das ist ein$\pi$-System, weil der Schnittpunkt solcher Intervalle eindeutig wieder ein anderes solches Intervall ist. Auch,$\mathcal{P}$erzeugt die Borel$\sigma$-Algebra (dies ist eine Standardaufgabe: Zeigen Sie, dass sie alle offenen Intervalle erzeugt, also alle offenen Mengen, also das volle Borel$\sigma$-Algebra). Nach Hypothese,$\mu,\nu$zustimmen$\mathcal{P}$, also stimmen sie nach dem Theorem über den vollen Borel überein$\sigma$-Algebra$\mathscr{A}$.

Der Vollständigkeit halber hier die Definitionen: let$S$eine nichtleere Menge sein.

• A$\pi$-System an$S$ist per Definition eine Menge$\mathcal{P}\subset \text{power set of $S$}$, die unter endlichen Schnittpunkten geschlossen ist (dh$A,B\in \mathcal{P}\implies A\cap B\in \mathcal{P}$).
• A$\lambda$-System an$S$ist per Definition eine Sammlung$\mathcal{L}\subset \text{power set of $S$}$, sodass drei Bedingungen erfüllt sind:$\emptyset\in \mathcal{L}$, Und$\mathcal{L}$wird unter Komplementen geschlossen, und$\mathcal{L}$ist abgeschlossen unter abzählbaren disjunkten Vereinigungen.

Der Grund warum$\pi$-Systeme u$\lambda$-Systeme nützlich sind, um damit zu arbeiten, können wir normalerweise nehmen$\pi$-Systemen sehr klein zu sein, in dem Sinne, dass es sehr wenige Mengen hat, aber dennoch das Ganze erzeugt$\sigma$-Algebra (z. B. halb-unendliche Intervalle in unserem obigen Beispiel). Der Grund, warum wir mögen$\lambda$-Systemen ist, dass es aufgrund der disjunkten Vereinigungsbedingung buchstäblich darum bittet, irgendwie mit Maßen verwandt zu sein (weil Maße per Definition zählbar additiv sind).

Der Satz von Dynkin besagt Folgendes: Wenn$\mathcal{P}$ist ein$\pi$-System an$S$Und$\mathcal{L}$ist ein$\lambda$-System an$S$was beinhaltet$\mathcal{P}$, dann enthält es die$\sigma$-Algebra generiert von$\mathcal{P}$. Bei Symbolen$\mathcal{P}\subset \mathcal{L}\implies \sigma(\mathcal{P})\subset \mathcal{L}$.

Sehen wir uns an, wie der obige Satz über die Eindeutigkeit aus Dynkins folgt$\pi$-$\lambda$Satz. Definieren$\mathcal{L}:= \{A\in\mathscr{A}\,:\, \mu(A)=\nu(A)\}$. Dann,

• Deutlich$\mu(\emptyset)=\nu(\emptyset)=0$, So$\emptyset\in \mathcal{L}$.
• Wenn$A\in\mathcal{L}$, Dann$\mu(A^c)=1-\mu(A)=1-\nu(A)=\nu(A^c)$, So$A^c\in\mathcal{L}$.
• Wenn$\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathcal{L}$ist dann eine disjunkte Sammlung von Mengen$\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)=\nu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)$, So$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{L}$.

Das beweist$\mathcal{L}$ist ein$\lambda$-System. Nach Hypothese enthält es die$\pi$-System$\mathcal{P}$. Also von Dynkins$\pi$-$\lambda$Satz erhalten wir$\mathscr{A}=\sigma(P)\subset \mathcal{L}\subset \mathscr{A}$. Somit,$\mathcal{L}=\mathscr{A}$, dh die beiden Maßnahmen stimmen im Großen und Ganzen überein$\sigma$-Algebra.

Das einzige, was in meiner Antwort fehlt, ist ein tatsächlicher Beweis für Dynkins$\pi$-$\lambda$Satz selbst. Aber das findet man in ziemlich vielen Lehrbüchern, oder man kann es einfach googeln.

Ich sollte auch erwähnen, dass der Satz von Dynkin nicht der einzige Ansatz ist. Ein weiteres häufiges Ergebnis der Maßtheorie ist das Lemma der monotonen Klasse, das auch viele der Ergebnisse des Satzes von Dynkin beweisen kann. Siehe auch Follands echter Analysetext, Theorem 1.14, wo es einen Beweis der Eindeutigkeit der Erweiterung unter etwas anderen Hypothesen gibt (aber immer noch in Ihrem Fall anwendbar).

Wenn genügt, um zu zeigen, dass die Gleichheit für Mengen der Form gilt$\{(a,b]:a<b\}$. In der Tat,