Lebesgues ursprüngliche Definition einer messbaren Menge?

Es gibt viele Möglichkeiten, das Lebesgue-Maß zu konstruieren, und für eine Teilmenge sind verschiedene Definitionen verfügbar$A\subset\mathbb{R}$„messbar“ sein. Ich glaube, die gebräuchlichste Definition ist die Verwendung des Caratheodory-Erweiterungssatzes, der das Konzept eines äußeren Maßes beinhaltet; Roydens Buch verwendet diese Definition.

Eine andere Möglichkeit, das Lebesgue-Maß zu konstruieren, besteht darin, zuerst eine positive lineare Funktion zu definieren$C_c(\mathbb{R})$Verwenden der Riemann-Integration und anschließendes Anwenden des Riesz-Darstellungssatzes auf lokal kompakte Hausdorff-Räume; Rudins Buch verwendet diesen Ansatz, aber ich persönlich denke, dass dies ein Vorschlaghammer ist, um eine Nuss zu knacken. Noch ein weiterer Ansatz verwendet sowohl die Konzepte eines äußeren Maßes als auch eines inneren Maßes. Wir definieren zunächst eine Teilmenge mit einem endlichen äußeren Maß als „messbar“, wenn ihr äußeres Maß gleich ihrem inneren Maß ist. Dann nehmen wir für eine allgemeine Teilmenge Schnittmengen mit „messbaren“ Teilmengen und definieren die Dinge so, wie sie sein sollen. Dieser Ansatz wird im Buch von Frank Jones verfolgt.

All diese verschiedenen Möglichkeiten lassen mich fragen, was Lebesgues ursprüngliche Konstruktion war. Wie hat er das Maß konstruiert? Was war die Definition einer "messbaren" Teilmenge von$\mathbb{R}$? Ich spreche kein Französisch, daher fällt es mir sehr schwer, seine ursprünglichen Dissertationen durchzugehen, und leider scheint es, dass vielen modernen Büchern diese historischen Informationen fehlen.

Also, was war Lebesgues Definition?