Sind nicht messbare Mengen, deren Abschnitte null sind, immer in einer null messbaren Menge enthalten?

Nein. Betrachten wir zum Beispiel das Lebesgue-Maß an$\mathbb{R}^2$. Es kann gezeigt werden, dass wenn$A\subseteq\mathbb{R}^2$mit positivem Maß messbar ist, dann gibt es$2^{\aleph_0}$verschiedene Werte von$x$so dass$A$enthält einen Punkt des Formulars$(x,y)$. Außerdem gibt es nur$2^{\aleph_0}$verschiedene Borel-Teilmengen von$\mathbb{R}^2$, und jeder messbare Satz positiver Maße enthält einen Borel-Satz positiver Maße. Unter Verwendung dessen durch eine transfinite Rekursion der Länge$2^{\aleph_0}$, können Sie eine Menge konstruieren$S\subseteq\mathbb{R}^2$so dass$S$schneidet jeden Borel-Satz positiver Maße (und somit jeden messbaren Satz positiver Maße), aber für jeden$x\in\mathbb{R}$,$S$enthält höchstens einen Punkt des Formulars$(x,y)$(Wählen Sie einfach nacheinander die Punkte aus, die Sie eingeben möchten$S$um es jeden Borel-Satz positiver Maße schneiden zu lassen, wobei jeder vermieden wird$x$-Werte, die Sie bereits ausgewählt haben). Dann jeder Abschnitt von$S$ist mit Maß messbar$0$. Jedoch,$S$ist in keinem messbaren Maß enthalten$0$, oder tatsächlich in jeder messbaren Menge, die kein vollständiges Maß hat, da$S$schneidet jeden messbaren Satz positiver Maße.