Frage zur "falschen" Anwendung der Kettenregel

Lassen Sie uns überlegen$K:\mathbb{R}^n\times [0,1]\to\mathbb{R}$Und$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$differenzierbar mit$K(u,t):=\langle f(a+t(u-a)),(u-a)\rangle=\sum\limits_{i=1}^nf_i(a+t(u-a))(u_i-a_i)$, Wo$a\in\mathbb{R}^n$.

Nehmen wir nun die erste partielle Ableitung (nach$u_1$) und wenden die Ketten- und Produktregel der Differenzierung an:

$$\begin{align*} &D_1K(u,t)=D_1\left(\sum\limits_{i=1}^nf_i(a+t(u-a))(u_i-a_i)\right)\\ &=\sum\limits_{i=1}^nD_1f_i(a+t(u-a))~\underset{=?}{\underbrace{D_1(a+t(u-a))}}~(u_i-a_i)+f_1(a+t(u-a)).\end{align*}$$

Als$(a+t(u-a))$erhält die Form von$\begin{pmatrix}a_1+t(u_1-a_1)\\\vdots\\a_n+t(u_n-a_n) \end{pmatrix}$,

Ich dachte, dass$D_1(a+t(u-a))=D_1\begin{pmatrix}a_1+t(u_1-a_1)\\a_2+t(u_2-a_2)\\ \vdots\\a_n+t(u_n-a_n) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}$Dies entspricht jedoch nicht der Größe des Bildes von$K$. Wo ist mein Fehler?