Warum nicht unendliche Ableitungen definieren?

Sie würden die Summen-, Produkt- und Quotientenregeln für Derivate verlieren. Sie würden die Kettenregel verlieren. Sie würden die Tatsache verlieren, dass eine Ableitung an einem Punkt Stetigkeit an diesem Punkt impliziert. Für differenzierbare Funktionen würde der Zwischenwertsatz nicht mehr gelten. Sie verlieren das Darboux-Eigentum von Derivaten. Verabschieden Sie sich von Taylor. Unsere Erstsemester werden es lieben!

Es ist eine Frage der Konvention und Vereinbarung zwischen Mathematikern.

Für mich ist es kein Problem, wenn Sie sagen, dass die Funktion irgendwann differenzierbar ist$c$selbst wenn$\lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$ist gleich$+\infty$oder$- \infty$. Dies würde nur die Differenzierbarkeit einiger Funktionen auf eine größere Menge erweitern, zum Beispiel Ihr Beispiel$x \mapsto x^{\frac 13}$wäre mit deiner Definition weiter differenzierbar$\mathbb R$und nicht nur auf$\mathbb R \setminus \{0\}$. Ich würde also nicht sagen, wie Sie sagen, dass Ableitungen einiger Funktionen in einigen Punkten gleich sind$+\infty$oder$- \infty$sind nicht wohldefiniert, sie sind wohldefiniert, es ist nur so, dass wir normalerweise per Definition annehmen, dass die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt eine endliche Zahl ist.

Situation ist so gesehen ähnlich wie bei Serien.

Das könnte man als Serie definieren$\sum_{i=1}^{\infty}a_i$der reellen Zahlen konvergiert, wenn der Grenzwert$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$existiert und gleich einem Mitglied der Menge ist$\mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$. Mit dieser Definition zum Beispiel die harmonische Reihe$\sum_{i=1}^{\infty}\frac {1}{n}$wäre eine konvergente Reihe.

Das einzige "Problem", das ich bei diesen erweiterten Definitionen der Ableitung irgendwann und der Konvergenz der Reihe sehe, ist, dass wir beim Beweis einiger Theoreme möglicherweise die Annahme Annehmen, dass ersetzen müssten$f$ist irgendwann differenzierbar$c$... mit der Annahme Angenommen, das$f$ist irgendwann differenzierbar$c$und dass die Ableitung an diesem Punkt nicht gleich ist$+ \infty$oder$- \infty$... (und ähnlich für die Reihen (und Integrale)).

Ich würde also sagen, dass an Ihrer erweiterten Definition nichts auszusetzen ist .

Ich stimme der obigen Antwort von @Farewell zu.

Ein weiterer Aspekt, der meiner Meinung nach eine Überlegung wert ist, ist der Umkehrfunktionssatz.

Wenn eine Funktion mit "Ableitung"$\pm \infty$eine Umkehrung hat, dann wird in vielen Fällen die Ableitung der Umkehrung an dem Punkt sein$0$. (Grundsätzlich erhalten wir eine vertikale Linie mit einer horizontalen Linie, wenn wir die abhängigen und unabhängigen Variablen vertauschen.)

Lassen Sie uns zunächst versuchen, einige geometrische Probleme zu betrachten, die mit "Ableitung" verbunden sind$\pm \infty$einer eindimensionalen Funktion. An diesem Punkt wäre die zugehörige Tangente eindeutig vertikal.

Aber darin liegt ein großes Problem: Wie kann man die Steigung einer vertikalen Linie konsistent definieren? Eines kann nicht – es ist unmöglich, weil beides$\infty$Und$-\infty$sind ebenso vernünftige Entscheidungen - dieses Nicht-Eindeutigkeitsproblem tritt übrigens bei keiner anderen Art von Tangentenlinie auf.

Sicher, im Fall von$x^{-1/3}$man könnte argumentieren, dass die Steigung "durch Kontinuität" definiert werden sollte$+\infty$. Aber was ist mit$\sqrt{x}$Und$-\sqrt{x}$? Durch Stetigkeit wäre die Ableitung von Eins bei 0$+\infty$und der andere hätte eine Ableitung$-\infty$bei 0, aber beide würden der gleichen Tangente der Kurve entsprechen$x=y^2$.

In mehr als einer Dimension sind die geometrischen Probleme, die mit dem Versuch verbunden sind, eine "unendliche Ableitung" zu definieren, sogar noch schlimmer. Insbesondere würde eine "unendliche Ableitung" der nicht existierenden Umkehrung einer singulären Matrix entsprechen, und es gibt buchstäblich unzählige Möglichkeiten, wie eine Matrix singulär sein kann (dh nicht invertierbar ist und die Determinante Null hat), also jeder Versuch zu finden Eine relativ kleine Anzahl von "Pseudoinversen" für alle singulären Matrizen wäre nicht handhabbar.

(Darüber hinaus hat der Raum invertierbarer Matrizen eine nette Eigenschaft namens "Offenheit", die der Idee eines offenen Intervalls ähnelt, das nicht invertierbare Matrizen einfach nicht haben. Stellen Sie sich das so vor: die Menge reeller Zahlen, die gut definierte Kehrwerte ist$(-\infty,0) \cup (0,\infty)$-- zwei offene Intervalle, während die Menge der reellen Zahlen, die keinen genau definierten Kehrwert haben,$\{0\}$ist ein Punkt (Punkte haben die Eigenschaft, "geschlossen" zu sein). Eine ähnliche Situation existiert in höheren Dimensionen.)

Im Beweis der Umkehrfunktion (für eine allgemeine Anzahl von Dimensionen, einschließlich$n=1$), verlassen wir uns darauf, dass die Ableitung "nicht Null" ist (in einem verallgemeinerten Sinne), um zu zeigen, dass wir eine lokale Inverse für die an diesem Punkt zentrierte Funktion finden können.

Der Beweis geht nicht durch, wenn die Ableitung "Null" ist, weil wir an diesem Punkt keinen eindeutigen Wert für die Ableitung der lokalen Umkehrfunktion definieren können (das gilt wiederum sogar für$n=1$wie ich oben erwähnt habe).

Der vielleicht wichtigste Grund, warum wir unendliche Ableitungen nicht definieren, ist, dass wir den Satz verlieren würden, dass Differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert. Diskontinuierliche Funktionen wie z

Vielleicht$\infty$ist intuitiv der Wert, den wir der Steigung dieser Funktion zuweisen möchten$x=0$. Aber da die Beweise der Produktregel und der Kettenregel auf Differenzierbarkeit beruhen, die Stetigkeit impliziert, glaube ich, dass die Definition unendlicher Ableitungen mehr Probleme verursachen als lösen würde.