Verwirrung bei der Einnahme von Ableitungen unter Verwendung der Ableitungsformel

Ich stecke schon lange mit diesem Problem fest und kann nicht herausfinden, was ich falsch mache. Hier ist die Frage:

Gegeben sei die Funktion f(x) = (2x)/(x+1)^2 Finde die Tangente am Punkt (0,0).

Mein Problem liegt darin, die Ableitung der Funktion zu nehmen. Wenn ich die Quotientenregel in Kombination mit der Kettenregel verwende, bekomme ich

f`(x) = (2(x+1)-4x(x+1))/(x+1)^4. Das ist richtig und bei x=0 ist die Steigung der Tangente 2.

Mein Problem ist, als ich (mehrmals) versuchte, das Ergebnis mit der Ableitungsformel nachzuahmen. Egal wie oft ich es versuchte, ich bekam das Ergebnis 1/0 = 0.

Hier ist, was ich getan habe.

f`(x) = f(((x+h)-f(x)))/h wenn h gegen 0 geht.

Da ich die Ableitung mit x = 0 haben möchte, habe ich dies ersetzt durch:

f`(x) = (f(h) - f(0)) / h

da f(0) = 0

f`(x) = f(h)/h

also bekommen wir:

(2h/(h+1)^2 ) / h wenn h gegen Null geht.

Ich weiß, dass das falsch ist, aber ich kann nicht verstehen, wo ich mich geirrt habe. Ich würde mich sehr über eine Erklärung freuen, wo ich einen Fehler gemacht habe und wie ich diese Ableitung mithilfe der Formel richtig berechnen kann.

Bitte versuchen Sie zuerst zu lernen L A T E X von math.meta.stackexchange.com/questions/5020/…
Im Ausdruck für F ' der erste Auftritt von ( X + 1 ) sollte sein ( X + 1 ) 2 stattdessen.
Sie waren fast am Ziel, und in dem, was Sie geschrieben haben, sieht alles richtig aus, mit Ausnahme des Ergebnisses " 1 / 0 = 0. „Ich verstehe nicht, wie Sie das aus irgendetwas anderem, was Sie geschrieben haben, bekommen haben. Aber ich denke, die gepostete Antwort hat erklärt, was Ihr nächster Schritt hätte sein sollen, also ist jetzt alles in Ordnung.
Ich habe zur Vereinfachung immer mit h statt mit 1/h multipliziert. Dumm, ich weiß, aber ich steckte in einem Trott fest und konnte meinen Fehler nicht herausfinden

Antworten (1)

2 H / ( H + 1 ) 2 H = 2 1 ( H + 1 ) 2 → 2 als  H → 0

Vielen Dank. Es war wirklich ziemlich einfach, aber manchmal, wenn man feststeckt, wenn man etwas falsch macht, braucht man den Input von jemand anderem :)
Verwirrung bei der Einnahme von Ableitungen unter Verwendung der Ableitungsformel
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