Zweifel an Eins-zu-Eins-Funktion

Vermuten$f$ist kontinuierlich. Symmetrisch um den Ursprung bedeutet$f(-x)=-f(x)$für alle$x\in\mathbb{R}$. Begrenzung als nehmen$x\to 0$wir bekommen$f(0)=0$. Wir haben$f(x_1)>0$für einige$x_1>0$. Nehmen Sie etwas$x_2>0$Und$x_2\neq x_1$. Dann$f(x_2)$kann nicht sein$0$Weil$f(0)=0$Und$f$ist eins-eins. Wenn$f(x_2)<0$dann wird es durch Kontinuität einige geben$x_3$zwischen$x_1$Und$x_2$so dass$f(x_3)=0$. Aber das ist wieder unmöglich wegen$f(0)$ist schon$0$Und$f$ist eins-eins. So$f(x_2)$muss positiv sein. Das gilt für alle$x_2>0$.

Wenn wir nicht annehmen$f$stetig ist, dann können wir Gegenbeispiele finden. Zum Beispiel$f(x)=x$für$x$rational,$f(x)=-x$für$x$irrational. Dies ist symmetrisch um den Ursprung, positiv für einige positiv$x$aber nicht positiv für alle positiv$x$.

Betrachten wir nun das Problem bezüglich der Ableitung. Die Ableitung ist für einige positiv$x>0$bedeutet nicht, dass es für alle positiv ist$x$. Wir können die Kurve abflachen, sodass die Ableitung wird$0$. Zum Beispiel$f(x)=x+\sin(x)$.

Es ist nicht wahr. Nimm zum Beispiel

$$\begin{array}{rccc}f\colon&\Bbb R&\longrightarrow&\Bbb R\\&x&\mapsto&\begin{cases}x&\text{ if }x\ne\pm1\\-x&\text{ if }x=1\text{ or }x=-1.\end{cases}\end{array}$$ Sie ist eine ungerade Funktion und daher symmetrisch zum Ursprung. Aber$f(2)>0$Und$f(1)<0$.