Widersprüche zwischen dem Alternating Series Test & Divergence Test?

Durch den Wechseltest : Die Serie$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot b_n$konvergiert, wenn alle drei der folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Der$b_n$'s sind alle positiv.
2. Das Positive$b_n$'s nehmen (eventuell) ab:$b_n\ge b_{n+1}$ $\forall n\ge N$.
3. $b_n \to 0$

Aber im Divergenztest : Gegeben$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, iff $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \implies$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$weicht ab

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Gegeben sei nun eine beliebige alternierende Reihe:

$$S = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot b_n$$

Wenn wir die Grenze von nehmen$a_n$in der Reihe oben

$$\lim_{n \to \infty}(-1)^{n+1}\cdot b_n = \underbrace{\left(\lim_{n \to \infty }(-1)^{n+1}\right)}_\text{This limit doesn't exist}\left(\lim_{n \to \infty} b_n\right)$$

Daher durch den Divergenztest,$S$sollte eine divergierende Reihe sein, unabhängig von den Bedingungen, die für den Wechseltest erforderlich sind. Aber durch den Alternating Series Test,$S$ist eine konvergente Reihe, sofern die drei eingangs genannten Bedingungen erfüllt sind.

Wie also wird dieser scheinbare Widerspruch durch den Wechselreihentest aufgelöst?