Folge von Ultrapower-Elementen und ihr Supremum

Lassen$\mathbb{A} = (A, \leq^\mathbb{A})$sei eine lineare Ordnung ohne maximales Element und sei$\mathbb{B} = \mathbb{A}^\mathbb{N} / \mathcal{U}$Seien Sie seine Ultrapower in Bezug auf einen Ultrafilter. Das muss ich für jede (abzählbare) unendliche Folge beweisen$(a_1, a_2, \ldots)$der Elemente der Ultramacht (was bedeutet, dass$a_i \in B$, nicht$A$) gibt es ein weiteres Element$b \in B$so dass$b \geq a_i$für alle$i$.

Ich verstehe im Allgemeinen Ultraproduct-Tricks, aber hier bin ich ratlos. Meine erste Idee war, eine Reihe von Sätzen zu erstellen "$\forall_{x_1, x_2, \ldots, x_k} \exists_y y \geq x_1 \wedge \ldots \wedge y \geq x_k$" mit ansteigender$k$'s und verwende den Satz von Łoś, aber ich verstehe nicht wirklich, wie wir damit in unendliche Folgen "springen" könnten (es sei denn, der Kompaktheitssatz kommt auf eine Weise ins Spiel, die ich nicht sehen kann). Mein zweiter Versuch war das Zählargument: Es gibt unabzählbar viele Elemente in der ganzen Ultramacht, aber nur abzählbar viele in der Folge$(a_1, a_2, \ldots)$. Aber eigentlich beweist das nichts.

Haben Sie Vorschläge, wie Sie dieses Problem angehen können?