Ultrafilter als lineare Ordnungen

In Hensons Vorlesungsskript zur Modelltheorie fand ich ziemlich früh (1.30, S. 12) eine Übung, die sich als zu schwierig für mich herausstellte. Es geht so:

Lassen$L$sei die Sprache erster Ordnung, deren einziges nichtlogisches Symbol das binäre Prädikatsymbol ist$<$. Lassen$\mathcal{A}=(\mathbb{N},<)$und lass$\mathcal{B}=\mathcal{A}^{I} / U$sei eine Ultramacht von$\mathcal{A}$Wo$I$ist abzählbar unendlich und$U$ist ein nicht-principaler Ultrafilter an$I$.

• Zeige, dass$\mathcal{B}$ist eine lineare Ordnung.
• Zeigen Sie, dass der Bereich der diagonalen Einbettung von$\mathcal{A}$hinein$\mathcal{B}$ist ein richtiges Anfangssegment von$\mathcal{B}$. Geben Sie eine explizite Beschreibung eines Elements von an$B$das liegt nicht im Bereich dieser Einbettung.
• Zeige, dass$\mathcal{N}$ist keine gute Ordnung; das heißt, beschreibe eine unendliche absteigende Folge in$\mathcal{N}$.

Für den ersten Punkt ist mir klar, dass ich "nur" prüfen muss, ob es reflexiv, transitiv, antisymmetrisch und stark verbunden ist. Aber ich sehe nicht, wie ich die Definition von behandeln soll$\mathcal{B}$. Dann bin ich beim zweiten Punkt völlig verloren.

Ich würde mich über jede Hilfe freuen!