Existenz eines Turms konservativer Erweiterungen von ZFC (sowie NBG)

Kurz gesagt, meine Frage bezieht sich darauf, ob es konservative Erweiterungen von gibt T 0 : = Z F C außer T 1 : = N B G , insbesondere Erweiterungen von N B G erhalten in ähnlicher Weise wie die Erweiterung von Z F C Zu N B G , was in Kürze geklärt werden wird. Ich glaube, es ist am besten, unsere Variablen aus Gründen der Übersichtlichkeit unsortiert zu lassen und eine umständliche Notation zu vermeiden.

Um meine Bemerkung zu den Erweiterungsmitteln zu verdeutlichen, Sprachen mit ihrem Formelsatz zu identifizieren, N B G ist eine Erweiterung in der Erweiterung der üblichen Sprache L 0 = L ( ϵ ) der Mengenlehre (Identifizierung von Sprachen mit ihren Formelmengen) zur Sprache L 1 = L ( ϵ , μ 0 ) und unter den Axiomen von N B G ist der Satz ∀ X ( φ 0 ( X ) ↔ ∃ j ( X ∈ j ) ) . Daher beziehe ich mich auf einen ähnlichen Ansatz, indem ich hinzufüge L 0 Unäre Beziehungssymbole μ a für jede a < β und etwas Ordnungszahl β beim Hinzufügen von Axiomen ähnlich dem vorherigen.

Es versteht sich von selbst im Umzug von T 0 Zu T 1 , für jeden L 0 -Satz σ wenn seine Relativierung zu μ 0 ( v ) Ist σ μ 0 ( v ) ( v kommt nicht vor σ natürlich) dann wollen wir (und haben)

T 0 ⊨ σ ⟺ T 1 ⊨ σ μ 0 ( v )

Um der Einfachheit halber etwas Terminologie hinzuzufügen, beziehen Sie sich (auch) auf Mengen als 0 -Klassen, Klassen als 1 -Klassen u a -Klassen für Objekte aus dem Diskursbereich der Theorie T a , bis zur Ordnungszahl a für die dies möglich ist oder nicht für jede Ordnungszahl a . Ist das wenigstens für alle möglich a < ω oder auch a = ω ? Falls es nicht klar ist, möchte ich das

T a ⊨ ∀ X ( μ γ ( X ) → μ δ ( X ) ) , wann immer  γ < δ < a .

Beide " L ich " Und " Σ ich " Notation kollidiert hier mit der bestehenden relevanten Notation, nämlich der konstruierbaren Hierarchie bzw. der Levy-Hierarchie.
Beachten Sie, dass Sie im Titel "konservativ" anstelle von "konservativ" geschrieben haben.
@NoahSchweber Ich werde es dann bearbeiten
@NoahSchweber Reichen die neuen Änderungen?

Antworten (1)

Ja, wir können dies zumindest durch die berechenbaren Ordinalzahlen (so weit darüber hinaus ω ). Eine Möglichkeit, dies zu tun, wird hier beschrieben ; Im Grunde geht es darum, ein Niveau zu haben a aussehen L a ( M ) für einige M ⊨ Z F C (analog wie die Konservativität von N B G über Z F C ist das zu zeigen L 1 ( M ) ist ein Modell von N B G wann immer M ⊨ Z F C .

(Beachten Sie, dass ich hier verwende L η die zu bezeichnen η te Ebene der konstruierbaren Hierarchie , nicht wie Sie es verwendet haben.)

Etwas verwandt mit dieser Frage. Warum wollen Kategorientheoretiker, dass es (unzählige) Grothendieck-Universen gibt, wenn sie stattdessen in einer geeigneten konservativen Erweiterung von ZFC arbeiten könnten?
@Jean-PierredeVilliers Diese konservativen Erweiterungen kaufen Ihnen nicht alles, was Sie wollen: Das Iterieren des definierbaren Powerset-Operators verhält sich nicht wie das Iterieren des Powerset-Operators. Z.B v ω + 1 hat jede reelle Zahl drin v aber wir bekommen nicht jede reelle Zahl hinein L bis L ω 1 . Grothendieck-Universen bieten viel stärkere Abschlusseigenschaften, und wenn wir versuchen, diese Abschlusseigenschaften zu dieser Konstruktion hinzuzufügen, verlieren wir die Konservativität. Nun sind Universen natürlich in vielen (den meisten?) Situationen unnötig, aber - vielleicht überraschend - manchmal werden sie wirklich benötigt: (Fortsetzung)
zB haben wir hier ein Konsistenzergebnis relativ zu einer großen Kardinalannahme (zwei unzugängliche Kardinalzahlen), wissen aber derzeit nicht, wie wir diese Konsistenzstärke loswerden können.
Bedeutet dies, dass ein seriöser Kategorientheoretiker sich auch mit einer seriösen Mengenlehre auskennen sollte? Ich mache jetzt nur einen Kurs in grundlegender Kategorientheorie, also kommen diese Fragen natürlich nicht auf. Ich frage, weil ich sehr daran interessiert bin, mich auf Mengenlehre zu spezialisieren (welche Geschmacksrichtung ich noch nicht sicher bin, obwohl ich denke, dass man sich nicht vollständig einpacken muss).
@Jean-PierredeVilliers Ich meine, jeder sollte sich mit einer ernsthaften Mengenlehre auskennen :) Noch ernsthafter, die relevante Mengenlehre kann fast immer als Black Box behandelt werden - die Ausnahmen sind wenn ( 1 ) Sie möchten den "axiomatischen Overhead" optimieren (z. B. Sie bevorzugen aktiv ZFC gegenüber ZFC + Universen) oder ( 2 ) Sie arbeiten in einigen der weniger bekannten Bereiche (zB ist mein Eindruck, dass barrierefreie Kategorien ein solches Thema sind). Mein Vorschlag wäre, sich zunächst auf die Kategorientheorie zu konzentrieren und dann – je nachdem, was Sie interessant finden – zu entscheiden, wie sehr Sie sich für die Mengenlehre interessieren.
implizieren Sie in Ihrer obigen Antwort, dass man bei Ordnungszahlen auf einen Haken stößt a ≥ χ 1 : = sup { γ ∈ Best.-Nr : γ  ist berechenbar } ?
Existenz eines Turms konservativer Erweiterungen von ZFC (sowie NBG)
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