Zeigen, dass κκ\kappa in Ultrapower schwach kompakt ist.

Question

Zeigen, dass κκ\kappa in Ultrapower schwach kompakt ist.

Logik
Mengenlehre
Mathematik
Modelltheorie
große Kardinäle

NeugierigKid7

Vermuten $\kappa$ ist messbar. Bei dem Versuch zu zeigen, dass es viele schwach kompakte Kardinalzahlen darunter gibt, habe ich das Problem schnell darauf reduziert, dies zu zeigen $\{\alpha < \kappa : \alpha$ ist schwach kompakt $\} \in U$ , Wo $U$ ist der $\kappa$ -kompletter, prinzipunabhängiger Ultrafilter an $\kappa$ . Dann muss ich das nur zeigen $\kappa$ ist im transitiven Kollaps der Ultramacht schwach kompakt.

Das erscheint mir vielversprechend, aber ich sehe nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Wie kann ich das beweisen?

René Schipperus

Beweise das

κ

$\kappa$ hat die schwach kompakte Eigenschaft. Beachten Sie, dass

κ

$\kappa$ ist das Ultraprodukt wird durch die Diagonalfunktion dargestellt.

Eric Wofsey

Wissen Sie, dass der transitive Kollaps der Ultramacht alle Teilmengen enthält

κ

$\kappa$ ?

Hanul Jeon

@ReneSchipperus Gilt nur wenn

U

$U$ ist normal?

NeugierigKid7

@EricWofsey Ich vergesse, ob ich es jemals bewiesen gesehen habe. Ich bin mir sowieso nicht sicher, wie ich die Tatsache verwenden soll.

NeugierigKid7

@ReneSchipperus Ich bin mir nicht sicher, von welcher Eigenschaft du sprichst. Ich suche einen relativ direkten Beweis aus der Definition eines schwach kompakten Kardinals.

Asaf Karagila

Welche der vielen Definitionen von schwach kompakt verwenden Sie?

NeugierigKid7

@AsafKaragila Zufriedenstellend

κ \to (κ)_{2}^{2}

$\kappa \rightarrow (\kappa)^2_2$ ..

Antworten (1)

Zeigen, dass κκ\kappa in Ultrapower schwach kompakt ist.

Beweise das $\kappa$ hat die schwach kompakte Eigenschaft. Beachten Sie, dass $\kappa$ ist das Ultraprodukt wird durch die Diagonalfunktion dargestellt.
Wissen Sie, dass der transitive Kollaps der Ultramacht alle Teilmengen enthält $\kappa$ ?
@EricWofsey Ich vergesse, ob ich es jemals bewiesen gesehen habe. Ich bin mir sowieso nicht sicher, wie ich die Tatsache verwenden soll.
@ReneSchipperus Ich bin mir nicht sicher, von welcher Eigenschaft du sprichst. Ich suche einen relativ direkten Beweis aus der Definition eines schwach kompakten Kardinals.
Welche der vielen Definitionen von schwach kompakt verwenden Sie?
@AsafKaragila Zufriedenstellend $\kappa \rightarrow (\kappa)^2_2$ ..

Asaf Karagila · Answer 1

Ich denke, der einfachste Weg ist, da durch das Baumeigentum zu gehen $\kappa$ stark unzugänglich bleibt, impliziert dies eine schwache Kompaktheit.

Da ist die Ultrapower unter sich geschlossen $\kappa$ -Sequenzen, wenn $T$ ist ein $\kappa$ -Baum hinein $M$ , es ist ein $\kappa$ -Baum hinein $V$ , es hat dort eine Verzweigung, und durch Schließung ist die Verzweigung in $M$ .

Wenn $U$ ist ein normales Maß an $\kappa$ , Und $M$ Ist $V^\kappa/U$ , Dann $M$ ist darunter geschlossen $\kappa$ -Sequenzen.
Okay, das sehe ich. Aber warum können wir dann nicht einfach die homogene Menge nehmen? $H\subset \kappa$ von Größe $\kappa$ und schlussfolgern, dass es drin ist $M$ ? Es würde homogen bleiben $M$ mit gleicher Größe.

Zeigen, dass κκ\kappa in Ultrapower schwach kompakt ist.

NeugierigKid7

René Schipperus

Eric Wofsey

Hanul Jeon

NeugierigKid7

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Asaf Karagila

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Asaf Karagila

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Asaf Karagila

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