Verwenden von Compactness, um eine nicht konstruierbare Menge zu finden

$\newcommand{\ZFC}{\mathit{ZFC}}$Ich habe versucht, einem Freund die ersten Ideen des Forcens zu erklären, und ich erinnerte mich an die Konstruktion eines Modells der Nicht-Standard-Arithmetik unter Verwendung von Kompaktheit. Es ist klar, dass, wenn Sie mit einem abzählbaren transitiven Modell (ctm) beginnen,$M$von$\ZFC$, nehmen Sie die Theorie von$M$, fügen Sie eine Konstante hinzu$c$auf die Sprache und machen den gleichen Trick, erhalten Sie ein anderes Modell (nicht transitiv, nicht fundiert) mit einem neuen Element, das mit bezeichnet wird$c$.

Meine Frage ist,

Warum bietet diese Konstruktion keine Möglichkeit,
eine nicht konstruierbare Menge zu erhalten? Oder zu verletzen$CH$?

Um es in einer anderen, ehrlicheren Form zu formulieren:

Warum muss ich Forcierung entwickeln, um ein solches Unabhängigkeitsergebnis zu beweisen?

Einige Gedanken dazu:

• Ich (glaube ich) verstehe das Argument, dass es möglicherweise keine ctm von gibt, wenn Sie im Minimalmodell leben$\ZFC$.
• Dasselbe gilt für mich, wenn wir in der Diskussion von einem Unerreichbaren ausgehen (daher hätten wir viele ctms). Auf jeden Fall geht es darum, ein anderes Modell zu erhalten, nicht unbedingt ein transitives.
• Ich weiß, dass die Verwendung von Kompaktheit und Ultraprodukten fast dasselbe ist, und ich weiß, dass ein messbarer Kardinal impliziert$V\neq L$durch seine Verbindung zu Ultraprodukten, so dass unter dieser Annahme vielleicht ein „elementares“ Kompaktheitsargument ausreichen könnte, zumindest für die Konstruierbarkeit.

Auf jeden Fall würde ich gerne wissen, wo dieses offensichtliche „ein neues Element hinzufügt$c$” Kompaktheitsargument bricht in erster Linie.